# Benchmark de estándares mundiales — `calculus_2`
> **Programa**: `calculus_2` — Cálculo Multivariable + Cálculo Vectorial + ODEs II
> **Audiencia**: estudiantes de 18–20 años (freshman/sophomore universitario; primera mitad de licenciatura en ingeniería, física, matemáticas, ciencias de la computación, economía cuantitativa)
> **Estado al 2026-04-30**: programa nuevo desde cero. Prereq directo: `calculus_intro` (single-variable calculus completo con límites ε-δ formales, derivada con todas las reglas, integral con FTC y técnicas avanzadas, ODEs separables, series de Taylor con resto de Lagrange).
> **Fuentes tier-1 (universitarias)**: MIT 18.02 Multivariable Calculus (OCW Fall 2007 + Fall 2010 + Spring 2023), UC Berkeley Math 53 (Multivariable) + Math 54 (Linear Algebra and Differential Equations), Stanford MATH 51 / 52 / 53 (the Stanford "Math 51 series" / Math 53 ODEs), Cambridge Mathematical Tripos Part IA Vector Calculus + Differential Equations, Oxford Honour Moderations Multivariable Calculus + Differential Equations, University of Tokyo 解析学 II + 微分積分学第二, Kyoto University 微分積分学続論, UNAM Cálculo III + Cálculo IV (Facultad de Ciencias).
> **Fuentes tier-2 (HS / contexto)**: AP Calculus BC (NO cubre multivariable), IB Mathematics AA HL Year 2 (NO cubre multivariable), Cambridge International A2 Mathematics 9709 + Further Mathematics 9231, Singapore H3 Mathematics 9820, ITAM Cálculo II/III, Tec de Monterrey Cálculo de Varias Variables.
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## 1. Qué es `calculus_2` en Rodybee
El programa `calculus_2` es el **primer programa universitario** de la plataforma Rodybee. Su misión es cubrir, al techo internacional, el cuerpo conceptual que en la academia se conoce variadamente como **Multivariable Calculus**, **Vector Calculus**, **Cálculo en varias variables**, **解析学 II**, o **Cálculo III/IV**, junto con un módulo final de **ODEs II** (ecuaciones diferenciales ordinarias más allá de las separables que vio `calculus_intro`).
Concretamente, `calculus_2` cubre:
1. **Geometría analítica del espacio 3D**: vectores 3D con dot product, cross product, scalar triple product, projections; rectas y planos en 3D (paramétrica, simétrica, vectorial; normal, scalar form); cuádricas y su clasificación visual.
2. **Funciones vectoriales y geometría diferencial de curvas**: r(t), r'(t), unit tangent T, principal normal N, binormal B, longitud de arco s(t), curvatura κ, torsión τ (intuitiva), aplicaciones a movimiento (velocidad, aceleración, descomposición tangencial/normal).
3. **Cálculo diferencial de varias variables**: dominio, level curves, level surfaces, límites en 2D (path test), continuidad, derivadas parciales, mixed partials con teorema de Clairaut, diferenciabilidad y plano tangente, aproximación lineal, regla de la cadena multivariable (todos los casos vía tree diagrams), derivada direccional, gradiente, máximos/mínimos/saddle, segunda derivada multivariable (Hessiano D = f_xx · f_yy − f_xy²), extremos absolutos en regiones cerradas, Lagrange multipliers (uno y dos restricciones).
4. **Cálculo integral de varias variables**: integrales dobles sobre rectángulos y regiones generales (Tipo I/II), Fubini, cambio de orden, polares; integrales triples en rectangulares, cilíndricas, esféricas; Jacobianos; aplicaciones a volumen, masa, centro de masa, momentos de inercia.
5. **Cálculo vectorial completo**: campos vectoriales, divergencia, rotacional, campos conservativos, función potencial; integrales de línea escalares (∫f ds) y vectoriales (∫F · dr); FTC para integrales de línea sobre campos gradiente; **Teorema de Green** (formas circulación y flujo); integrales de superficie ∫∫f dS y ∫∫F · dS sobre superficies parametrizadas y orientables; **Teorema de Stokes**; **Teorema de la Divergencia (Gauss)**.
6. **ODEs II**: lineales de primer orden con factor integrante μ(x) = e^∫P(x)dx, ODEs exactas (M dx + N dy = 0 con M_y = N_x) con potencial integrante; ODEs lineales de segundo orden con coeficientes constantes — caso homogéneo (ecuación característica con tres subcasos: raíces reales distintas, repetidas, complejas conjugadas); caso no homogéneo vía coeficientes indeterminados, variación de parámetros, reducción de orden; aplicaciones canónicas (resorte sin amortiguamiento, resorte amortiguado, resorte forzado, circuito RLC).
**Edad de entrada**: 18 años (freshman universitario, equivalente al segundo semestre del primer año en STEM; en algunos sistemas aparece ya en segundo cuatrimestre del primer año). **Edad de salida**: 20 años (sophomore terminado). **Duración estimada**: 24–32 meses de práctica diaria de 12–18 min para mastery completa, mayor que `calculus_intro` por la densidad geométrica y la cantidad de teoremas integrales.
### 1.1 Frontera explícita: el primer programa Rodybee NO cubierto por estándares HS
> **Nota crítica**: `calculus_2` es el **primer programa Rodybee** donde los grandes sistemas de bachillerato internacional **NO cubren el material**. La benchmark es íntegramente **universitaria**.
Concretamente:
- **AP Calculus BC** (College Board, US): cubre single-variable calculus completo, series de Taylor, ODEs separables. **NO cubre** parciales, integrales múltiples, gradiente, divergencia, rotacional, ni teoremas integrales de Green/Stokes/divergencia. Es estrictamente single-variable. El propio College Board confirma que `Multivariable Calculus`, `Linear Algebra`, `Differential Equations` son cursos **post-AP** que las universidades reciben mediante créditos de transferencia, no AP Exams.
- **IB Mathematics: Analysis and Approaches HL** (IBO, Y2): el syllabus HL incluye single-variable calculus completo (límites, derivadas, integrales, técnicas básicas, series de Maclaurin), pero **NO incluye** parciales ni integrales múltiples. La sección de vectores 3D existe pero termina en líneas/planos y producto escalar/vectorial — no llega a campos vectoriales ni teoremas integrales.
- **Cambridge International A2 Mathematics 9709 (Pure 3)**: introduce ODEs lineales de primer orden con factor integrante (techo HS de Cambridge), pero **NO** cubre multivariable. Para extras hay que ir a **Further Mathematics 9231**, que profundiza en vectores 3D y matrices, pero **tampoco** llega a integrales múltiples ni cálculo vectorial.
- **Singapore H2 Mathematics 9758** (JC2): single-variable + vectores 3D + ODEs separables/Newton cooling. **NO** multivariable. **Singapore H3 Mathematics 9820** (oferta avanzada para JC2 top): incluye temas optativos como número, álgebra, geometría avanzada, pero **no es un curso multivariable estándar** — más bien es un complemento de demostración matemática (proof) que H2 no cubre.
- **MEXT Math III + Math C** (Japón): cubre single-variable completo y vectores 2D/3D con producto escalar, líneas/planos, pero **no** integrales múltiples ni teoremas integrales. Eso queda para 大学一年生 / 解析学 II.
- **KICE 미적분 (Calculus) 2022**: techo coreano HS = single-variable + series. **NO** multivariable.
- **ITAM / Tec de Monterrey** (México, contexto regional): tienen cursos formales (Cálculo II y Cálculo III) que **sí** son multivariable, pero esos ya son **universitarios** (primer año de licenciatura).
**Implicación arquitectónica**: la decisión de cobertura para `calculus_2` se toma **únicamente** contra los syllabi universitarios, sin la herramienta del HS exam system para validar. El benchmark es: MIT 18.02 + UCB Math 53/54 + Stanford 51 + UNAM Cálculo III/IV + Cambridge Tripos IA Vector Calculus + Tokyo Univ 解析学 II + Kyoto 微分積分学続論. Estos seis cursos convergen notablemente — el corpus multivariable es muy estandarizado mundialmente.
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## 2. Tabla comparativa por currículum
Las columnas son los grandes bloques temáticos de `calculus_2`. Las filas son los currículos. Cada celda indica si el currículo cubre ese bloque (✓), lo toca parcialmente (◐), o no lo cubre (—).
| Currículum | Edad típica | 3D vec deeper | Parciales | Gradient | Doble integ | Triple integ | Línea integ | Campos vec | Green/Stokes/Div | ODE II |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| **AP Calculus BC** (US, HS) | 17–18 | — | — | — | — | — | — | — | — | — |
| **IB Math AA HL Y2** | 17–18 | ◐ (líneas/planos) | — | — | — | — | — | — | — | — |
| **Cambridge A2 9709 P3** | 17–18 | ◐ (vec 3D + planos) | — | — | — | — | — | — | — | ◐ (lineal 1er orden) |
| **Cambridge Further 9231** | 17–18 | ✓ (matrices, vec 3D) | — | — | — | — | — | — | — | — |
| **Singapore H2 9758** | 17–18 | ◐ | — | — | — | — | — | — | — | ◐ |
| **Singapore H3 9820** | 17–18 | optativo | optativo | — | — | — | — | — | — | — |
| **MEXT Math III + C** (JP) | 17–18 | ✓ | — | — | — | — | — | — | — | — |
| **KICE 미적분 2022** (KR) | 17–18 | — | — | — | — | — | — | — | — | — |
| **ITAM Cálculo II + III** (MX) | 18–19 | ✓ | ✓ | ✓ | ✓ | ✓ | ✓ | ✓ | ✓ | ✓ |
| **Tec Cálculo Varias Variables** | 18–19 | ✓ | ✓ | ✓ | ✓ | ✓ | ✓ | ✓ | ✓ | — (en otro curso) |
| **MIT 18.02 Multivariable** | 18–19 | ✓ | ✓ | ✓ | ✓ | ✓ | ✓ | ✓ | ✓ | — (18.03 separado) |
| **MIT 18.03 ODEs** | 18–19 | — | — | — | — | — | — | — | — | ✓ |
| **UCB Math 53** (Multivariable) | 18–19 | ✓ | ✓ | ✓ | ✓ | ✓ | ✓ | ✓ | ✓ | — |
| **UCB Math 54** (LinAlg + ODEs) | 18–19 | — | — | — | — | — | — | — | — | ✓ |
| **Stanford MATH 51-53** | 18–19 | ✓ | ✓ | ✓ | ✓ | ✓ | ✓ | ✓ | ✓ | ✓ (53) |
| **Cambridge Tripos IA Vector Calc** | 18–19 | ✓ | ✓ | ✓ | ✓ | ✓ | ✓ | ✓ | ✓ | ✓ (sep curso) |
| **Oxford HM Multivariable + ODEs** | 18–19 | ✓ | ✓ | ✓ | ✓ | ✓ | ✓ | ✓ | ✓ | ✓ |
| **U. Tokyo 解析学 II** | 18–19 | ✓ | ✓ | ✓ | ✓ | ✓ | ✓ | ✓ | ✓ | ✓ |
| **Kyoto 微分積分学続論** | 18–19 | ✓ | ✓ | ✓ | ✓ | ✓ | ✓ | ✓ | ✓ | ◐ |
| **UNAM Cálculo III + IV** | 18–19 | ✓ | ✓ | ✓ | ✓ | ✓ | ✓ | ✓ | ✓ | ✓ |
**Lectura**:
- **El techo HS (Cambridge Further, Singapore H3, MEXT Math C) toca vectores 3D pero NO el resto del programa**. La frontera HS / universidad cae limpiamente en parciales y gradient.
- **El techo universitario internacional converge** en los nueve bloques. La única diferencia entre MIT/UCB/Stanford/Cambridge/Oxford/Tokyo/Kyoto/UNAM es **dónde dividen ODEs**: MIT y UCB las separan en 18.03 y Math 54 (no en 18.02 ni Math 53); Stanford MATH 53 sí incluye ODEs; UNAM las distribuye en Cálculo IV; Tokyo y Kyoto las integran al curso de análisis II.
- **Decisión Rodybee**: incluir ODEs II en `calculus_2` (más cercano al modelo Stanford 53 / UNAM IV / Tokyo / Cambridge Tripos). Razón: la conexión conceptual entre ODEs y campos vectoriales (slope fields → ODEs vs flow lines → integrales de línea) es muy fuerte, y separar ODEs en otro programa fragmenta esa intuición.
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## 3. Topic-by-topic deep dive
### 3.1 Espacio 3D y vectores
**Cobertura tier-1 universitario** (MIT 18.02 unidades 1.1–1.4, UCB Math 53 capítulo 12, Stanford MATH 51 unidad 1, Tokyo 解析学 II §1):
- **Sistema de coordenadas 3D**: ejes x, y, z con regla de la mano derecha; octantes; distancia entre puntos $d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2}$; ecuación de esfera $(x-a)^2 + (y-b)^2 + (z-c)^2 = r^2$.
- **Vectores 3D**: notación $\mathbf{v} = \langle a, b, c \rangle = a\mathbf{i} + b\mathbf{j} + c\mathbf{k}$; magnitud $|\mathbf{v}| = \sqrt{a^2+b^2+c^2}$; vector unitario $\hat{\mathbf{v}} = \mathbf{v}/|\mathbf{v}|$.
- **Dot product en 3D**: $\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = u_1 v_1 + u_2 v_2 + u_3 v_3 = |\mathbf{u}||\mathbf{v}|\cos\theta$ (extiende el dot 2D que ya está en pre_calculus). Aplicación: ángulo entre vectores, perpendicularidad, projection.
- **Cross product**: $\mathbf{u} \times \mathbf{v} = \det \begin{pmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ u_1 & u_2 & u_3 \\ v_1 & v_2 & v_3 \end{pmatrix}$, antisimétrico, no asociativo, magnitud $|\mathbf{u} \times \mathbf{v}| = |\mathbf{u}||\mathbf{v}|\sin\theta$ (área del paralelogramo). Aplicación: vector normal a un plano, área de triángulo.
- **Scalar triple product**: $\mathbf{u} \cdot (\mathbf{v} \times \mathbf{w}) = \det \begin{pmatrix} u_1 & u_2 & u_3 \\ v_1 & v_2 & v_3 \\ w_1 & w_2 & w_3 \end{pmatrix}$. Magnitud absoluta = volumen del paralelepípedo. Si es 0 ⇒ vectores coplanares.
- **Projecciones**: scalar projection $\text{comp}_\mathbf{v}\mathbf{u} = \mathbf{u} \cdot \mathbf{v}/|\mathbf{v}|$; vector projection $\text{proj}_\mathbf{v}\mathbf{u} = (\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}/|\mathbf{v}|^2)\mathbf{v}$.
**Convergencia internacional**: MIT 18.02, UCB Math 53, Stanford 51, Cambridge Tripos IA, Tokyo, Kyoto, UNAM III — todos cubren los seis temas del bullet list anterior con notación casi idéntica. Diferencia menor: Cambridge Tripos prefiere notación $\hat{\mathbf{i}}, \hat{\mathbf{j}}, \hat{\mathbf{k}}$ con sombrero; UNAM prefiere $(a,b,c)$ con paréntesis.
### 3.2 Rectas y planos en 3D
- **Recta** que pasa por $\mathbf{r}_0$ con dirección $\mathbf{v}$:
- **Vectorial**: $\mathbf{r}(t) = \mathbf{r}_0 + t\mathbf{v}$
- **Paramétrica**: $x = x_0 + at$, $y = y_0 + bt$, $z = z_0 + ct$
- **Simétrica**: $\frac{x-x_0}{a} = \frac{y-y_0}{b} = \frac{z-z_0}{c}$
- **Plano** que pasa por $P_0$ con normal $\mathbf{n}$:
- **Normal form**: $\mathbf{n} \cdot (\mathbf{r} - \mathbf{r}_0) = 0$
- **Scalar form**: $a(x-x_0) + b(y-y_0) + c(z-z_0) = 0$, expandible a $ax + by + cz = d$.
- **Ángulos**:
- Entre dos rectas: el ángulo entre sus vectores dirección.
- Entre dos planos: el ángulo entre sus normales.
- Entre recta y plano: complemento del ángulo entre dirección de la recta y normal del plano.
- **Distancias**:
- Punto a recta en 3D: $d = \frac{|\mathbf{(P_1 - P_0)} \times \mathbf{v}|}{|\mathbf{v}|}$
- Punto a plano: $d = \frac{|ax_1 + by_1 + cz_1 - d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$
- Recta a recta (skew lines): proyección sobre la normal común, $d = \frac{|\mathbf{(P_2 - P_1)} \cdot (\mathbf{v}_1 \times \mathbf{v}_2)|}{|\mathbf{v}_1 \times \mathbf{v}_2|}$
- **Intersecciones**: dos planos → recta; tres planos → punto, recta o plano; recta y plano → punto, vacío o recta contenida.
**Observación**: pre_calculus ya cubrió **líneas en 2D** y **vectores 3D con dot product**. La novedad aquí es: planos en 3D, intersecciones tres-planos, distancia entre rectas alabeadas, y todo con cross product que pre_calculus no tenía.
### 3.3 Cuádricas (quadric surfaces)
Las **seis** cuádricas canónicas, identificación visual y bosquejo:
| Cuádrica | Ecuación canónica | Trazas características |
|---|---|---|
| **Elipsoide** | $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} = 1$ | Tres elipses |
| **Paraboloide elíptico** | $z = \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2}$ | Elipses (z>0) + parábolas |
| **Paraboloide hiperbólico (silla)** | $z = \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2}$ | Hipérbolas + parábolas (la "silla de montar") |
| **Hiperboloide de una hoja** | $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} = 1$ | Elipses + hipérbolas |
| **Hiperboloide de dos hojas** | $-\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} = 1$ | Elipses (|z|>c) + hipérbolas |
| **Cono** | $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = \frac{z^2}{c^2}$ | Elipses + rectas (caso degenerado del hiperboloide) |
**Cobertura**: MIT 18.02 §1.6, UCB Math 53 §12.6, Stanford 51, UNAM III. Los seis se exigen; el énfasis es **identificación rápida** dado una ecuación + bosquejo cualitativo.
### 3.4 Funciones vectoriales y geometría diferencial de curvas
- **Función vectorial**: $\mathbf{r}(t) = \langle f(t), g(t), h(t) \rangle$ — describe una curva en 3D.
- **Derivada**: $\mathbf{r}'(t) = \langle f'(t), g'(t), h'(t) \rangle$. Es **tangente** a la curva.
- **Unit tangent**: $\mathbf{T}(t) = \mathbf{r}'(t)/|\mathbf{r}'(t)|$.
- **Principal normal**: $\mathbf{N}(t) = \mathbf{T}'(t)/|\mathbf{T}'(t)|$ — apunta hacia el centro de curvatura.
- **Binormal**: $\mathbf{B}(t) = \mathbf{T}(t) \times \mathbf{N}(t)$ — completa el **triedro de Frenet-Serret**.
- **Longitud de arco**: $s(t) = \int_a^t |\mathbf{r}'(u)| du$.
- **Curvatura**: $\kappa = \frac{|\mathbf{T}'(t)|}{|\mathbf{r}'(t)|} = \frac{|\mathbf{r}'(t) \times \mathbf{r}''(t)|}{|\mathbf{r}'(t)|^3}$. Para curvas planas $y = f(x)$: $\kappa = \frac{|f''(x)|}{(1+f'(x)^2)^{3/2}}$.
- **Torsión** (intuitiva): $\tau = -\mathbf{N} \cdot \frac{d\mathbf{B}}{ds}$ — mide cuánto la curva "se sale" del plano osculador. **Decisión Rodybee**: torsión se cubre cualitativamente, sin formalidad de Frenet-Serret completo (eso es Cambridge Tripos IB / análisis avanzado).
- **Movimiento**: si $\mathbf{r}(t)$ es posición, $\mathbf{v}(t) = \mathbf{r}'(t)$ es velocidad, $\mathbf{a}(t) = \mathbf{r}''(t)$ es aceleración. **Descomposición**: $\mathbf{a} = a_T \mathbf{T} + a_N \mathbf{N}$ con $a_T = d|\mathbf{v}|/dt$ y $a_N = \kappa |\mathbf{v}|^2$.
**Convergencia**: MIT 18.02, UCB 53, Stanford 51, Tokyo 解析学 II todos cubren T, N, B, κ; torsión es opcional o introductoria. Cambridge Tripos IA Vector Calculus la profundiza.
### 3.5 Funciones de varias variables — dominio y límites
- **Función de dos variables**: $z = f(x, y)$. **De tres variables**: $w = f(x, y, z)$.
- **Dominio**: el subconjunto de $\mathbb{R}^2$ (resp. $\mathbb{R}^3$) donde $f$ está definida.
- **Curvas de nivel** (level curves): $f(x,y) = k$ para $k$ constante. Se grafican en el dominio.
- **Superficies de nivel** (level surfaces): $f(x,y,z) = k$ — generaliza level curves a 3D.
- **Límite**: $\lim_{(x,y) \to (a,b)} f(x,y) = L$ si para todo $\varepsilon > 0$ existe $\delta > 0$ tal que $0 < \sqrt{(x-a)^2 + (y-b)^2} < \delta \Rightarrow |f(x,y) - L| < \varepsilon$.
- **Path test**: si el límite $f(x,y) \to L$ depende del camino de aproximación a $(a,b)$, el límite **no existe**. Camino estándar para detectar no-existencia: a lo largo de los ejes ($y=0$, $x=0$) y a lo largo de rectas $y=mx$, parábolas $y=x^2$, etc.
- **Iterated limits**: $\lim_{x\to a} \lim_{y\to b} f(x,y)$ vs $\lim_{y\to b} \lim_{x\to a} f(x,y)$ — pueden diferir. Si ambos existen y son iguales y el límite simultáneo existe, son todos iguales.
- **Continuidad**: $f$ es continua en $(a,b)$ si $\lim_{(x,y)\to(a,b)} f(x,y) = f(a,b)$.
**Convergencia**: MIT 18.02 §2.1–2.3, UCB Math 53 §14.1–14.2, Stanford 51, UNAM III §2. Tokyo 解析学 II profundiza la definición ε-δ multivariable más que MIT/UCB.
### 3.6 Derivadas parciales
- **Definición**: $f_x(a,b) = \lim_{h\to 0} \frac{f(a+h, b) - f(a,b)}{h}$ (derivada respecto a $x$ con $y$ constante). Análoga $f_y$.
- **Notaciones**: $f_x = \partial f/\partial x = D_x f = \partial_x f$. Tradicional Cambridge: $\partial f/\partial x|_y$ con subíndice de variables fijas (importante en termodinámica).
- **Interpretación geométrica**: pendiente de la curva intersección de la superficie $z = f(x,y)$ con el plano $y = b$ (resp. $x = a$).
- **Higher-order**: $f_{xx}, f_{yy}$ y mixtas $f_{xy}, f_{yx}$.
- **Teorema de Clairaut**: si $f_{xy}$ y $f_{yx}$ son continuas, son iguales. (En la práctica: se cumple casi siempre; existen contraejemplos con discontinuidad).
### 3.7 Diferenciabilidad y plano tangente
- **Diferenciabilidad** (definición formal): $f$ es diferenciable en $(a,b)$ si $f(a+h, b+k) - f(a,b) = f_x(a,b) h + f_y(a,b) k + \varepsilon_1 h + \varepsilon_2 k$ con $\varepsilon_1, \varepsilon_2 \to 0$ cuando $(h,k) \to 0$. **Existencia de parciales NO implica diferenciabilidad**.
- **Plano tangente** a $z = f(x,y)$ en $(a,b,f(a,b))$: $z - f(a,b) = f_x(a,b)(x-a) + f_y(a,b)(y-b)$.
- **Aproximación lineal** (linearization): $L(x,y) = f(a,b) + f_x(a,b)(x-a) + f_y(a,b)(y-b)$.
- **Diferencial total**: $df = f_x dx + f_y dy$ — usado para estimar error.
- En 3D: plano tangente a la **superficie de nivel** $F(x,y,z) = k$ en $P_0$: $\nabla F(P_0) \cdot (\mathbf{r} - \mathbf{r}_0) = 0$ — la normal a la superficie de nivel es el gradiente.
### 3.8 Regla de la cadena multivariable
**Tree diagrams** son el pedagogical anchor (estándar MIT 18.02, UCB 53, Stanford 51).
**Casos canónicos**:
1. **Una variable independiente**: $z = f(x,y)$, $x = g(t)$, $y = h(t)$. Entonces $\frac{dz}{dt} = \frac{\partial f}{\partial x}\frac{dx}{dt} + \frac{\partial f}{\partial y}\frac{dy}{dt}$.
2. **Dos variables independientes**: $z = f(x,y)$, $x = g(s,t)$, $y = h(s,t)$. Entonces $\frac{\partial z}{\partial s} = \frac{\partial f}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial s} + \frac{\partial f}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial s}$ (análogo para $\partial z/\partial t$).
3. **Caso general**: cualquier número de variables, con tree diagram.
4. **Implícita en 2D**: si $F(x,y) = 0$ define $y = y(x)$ implícitamente, $dy/dx = -F_x/F_y$.
5. **Implícita en 3D**: si $F(x,y,z) = 0$ define $z = z(x,y)$, $\partial z/\partial x = -F_x/F_z$, $\partial z/\partial y = -F_y/F_z$.
### 3.9 Derivada direccional y gradiente
- **Derivada direccional** en dirección unitaria $\mathbf{u} = \langle a, b \rangle$: $D_\mathbf{u} f(x,y) = \lim_{h\to 0} \frac{f(x+ha, y+hb) - f(x,y)}{h}$.
- **Gradiente**: $\nabla f = \langle f_x, f_y \rangle$ (en 2D); $\nabla f = \langle f_x, f_y, f_z \rangle$ (en 3D).
- **Fórmula clave**: $D_\mathbf{u} f = \nabla f \cdot \mathbf{u}$.
- **Interpretación**: $\nabla f$ apunta en la dirección de **máximo crecimiento**. La magnitud de $\nabla f$ es la tasa de cambio máxima.
- **$\nabla f$ es perpendicular a las curvas de nivel** (en 2D) y a las **superficies de nivel** (en 3D). Esto justifica la fórmula de plano tangente con gradiente (3.7 último punto).
### 3.10 Extremos multivariable
- **Critical points**: $(a,b)$ con $\nabla f(a,b) = \mathbf{0}$ o $\nabla f$ no existe.
- **Local max/min/saddle**: análogos a 1D pero con saddle adicional.
- **2nd derivative test (D-test)**: definir $D = f_{xx}(a,b) f_{yy}(a,b) - f_{xy}(a,b)^2$ (el **discriminante Hessiano**).
- $D > 0$ y $f_{xx} > 0$ ⇒ **min local**.
- $D > 0$ y $f_{xx} < 0$ ⇒ **max local**.
- $D < 0$ ⇒ **saddle point**.
- $D = 0$ ⇒ test inconclusivo (recurrir a otros métodos).
- **Extremos absolutos en regiones cerradas y acotadas**: análogo al 1D — evaluar interiores (puntos críticos) + frontera (parametrizar).
### 3.11 Lagrange multipliers
- **Una restricción**: para extremar $f(x,y,z)$ sujeto a $g(x,y,z) = c$, resolver $\nabla f = \lambda \nabla g$ junto con la restricción. $\lambda$ es el **multiplicador**.
- **Dos restricciones**: para extremar $f$ sujeto a $g_1 = c_1$ y $g_2 = c_2$, $\nabla f = \lambda_1 \nabla g_1 + \lambda_2 \nabla g_2$ + las dos restricciones.
- **Interpretación**: $\nabla f$ debe estar en el span de las normales a las superficies de restricción.
- **Casos clásicos**: caja con superficie fija, distancia mínima a una superficie, optimización económica con restricción presupuestal.
### 3.12 Integrales dobles
- **Sobre rectángulos** $R = [a,b] \times [c,d]$: $\iint_R f(x,y) dA = \int_a^b \int_c^d f(x,y) dy dx$ (Fubini permite intercambiar orden).
- **Sobre regiones generales**:
- **Tipo I** ($y$ entre dos funciones de $x$): $D = \{(x,y) : a \leq x \leq b, g_1(x) \leq y \leq g_2(x)\}$, $\iint_D f dA = \int_a^b \int_{g_1(x)}^{g_2(x)} f(x,y) dy dx$.
- **Tipo II** ($x$ entre dos funciones de $y$): análogo.
- **Cambio de orden**: si la región es Tipo I y II, el orden se puede invertir; a veces esencial para evaluar.
- **Polares**: $x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$, $dA = r \, dr \, d\theta$. Útil para regiones circulares, anulares, sectores.
- **Aplicaciones**: área (con $f \equiv 1$), volumen bajo una superficie, masa con densidad $\rho(x,y)$, valor medio $\bar f = (1/\text{Area}(D)) \iint_D f dA$.
### 3.13 Integrales triples
- **Rectangulares**: $\iiint_E f(x,y,z) dV$ con $dV = dx \, dy \, dz$ (cualquier orden por Fubini).
- **Cilíndricas**: $x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$, $z = z$, $dV = r \, dr \, d\theta \, dz$.
- **Esféricas**: $x = \rho\sin\phi\cos\theta$, $y = \rho\sin\phi\sin\theta$, $z = \rho\cos\phi$, $dV = \rho^2 \sin\phi \, d\rho \, d\phi \, d\theta$. (Convención: $\phi$ desde el eje z, $0 \leq \phi \leq \pi$; $\theta$ azimutal, $0 \leq \theta < 2\pi$.)
- **Jacobiano**: cambio general de variables $(u,v,w) \to (x,y,z)$ con $dV = |J| du \, dv \, dw$ donde $J = \det(\partial(x,y,z)/\partial(u,v,w))$.
- **Aplicaciones**: volumen, masa con densidad $\rho(x,y,z)$, **centro de masa** $\bar x = (1/M) \iiint_E x \rho dV$ (análogo $\bar y, \bar z$), **momentos de inercia** $I_z = \iiint_E (x^2+y^2) \rho dV$ (análogos $I_x, I_y$).
### 3.14 Campos vectoriales
- **Definición**: una función $\mathbf{F}: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$. En 2D: $\mathbf{F}(x,y) = \langle P(x,y), Q(x,y) \rangle$; en 3D: $\mathbf{F}(x,y,z) = \langle P, Q, R \rangle$.
- **Visualización**: se grafica una flecha por cada punto del dominio. Ejemplos: campo gravitacional, eléctrico, fluido.
- **Divergencia**: $\nabla \cdot \mathbf{F} = \partial P/\partial x + \partial Q/\partial y + \partial R/\partial z$ (3D). Mide expansion/contracción local del campo.
- **Rotacional (curl)**: $\nabla \times \mathbf{F} = \det \begin{pmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ \partial_x & \partial_y & \partial_z \\ P & Q & R \end{pmatrix}$. Mide tendencia rotacional local.
- **Campo conservativo**: $\mathbf{F}$ es conservativo si existe $f$ con $\mathbf{F} = \nabla f$. **Equivalencia** (en regiones simply connected): $\mathbf{F}$ conservativo ⇔ $\nabla \times \mathbf{F} = \mathbf{0}$ (3D) ⇔ $\partial P/\partial y = \partial Q/\partial x$ (2D).
- **Encontrar la función potencial** $f$: integrar $P$ respecto a $x$ obtienes $f$ con una "constante" que depende de $y, z$; derivar respecto a $y, z$ y comparar para fijarla.
### 3.15 Integrales de línea
- **Escalar**: $\int_C f(x,y) ds = \int_a^b f(\mathbf{r}(t)) |\mathbf{r}'(t)| dt$ donde $\mathbf{r}(t)$ parametriza $C$, $a \leq t \leq b$.
- **Vectorial**: $\int_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = \int_a^b \mathbf{F}(\mathbf{r}(t)) \cdot \mathbf{r}'(t) dt$. Físicamente: trabajo realizado por $\mathbf{F}$ a lo largo de la curva.
- **FTC para integrales de línea (Gradient Theorem)**: si $\mathbf{F} = \nabla f$ y $C$ va de $A$ a $B$, entonces $\int_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = f(B) - f(A)$. **Independencia del camino** ⇔ $\mathbf{F}$ conservativo.
- **Notación alternativa**: $\int_C P \, dx + Q \, dy + R \, dz = \int_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r}$.
### 3.16 Teorema de Green
Conecta una integral de línea sobre una curva cerrada $C$ con una integral doble sobre la región $D$ encerrada por $C$.
- **Forma circulación (curl)**: $\oint_C P \, dx + Q \, dy = \iint_D \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right) dA$. Aquí $C$ se recorre con orientación positiva (counter-clockwise vista desde arriba).
- **Forma flujo (divergence)**: $\oint_C \mathbf{F} \cdot \mathbf{n} \, ds = \iint_D \nabla \cdot \mathbf{F} \, dA$ donde $\mathbf{n}$ es el vector normal exterior unitario.
- **Aplicaciones**: cálculo de áreas vía $A = \frac{1}{2} \oint_C (x \, dy - y \, dx)$; verificar consistencia entre integrales; planimetría.
### 3.17 Integrales de superficie
- **Superficie parametrizada**: $\mathbf{r}(u,v) = \langle x(u,v), y(u,v), z(u,v) \rangle$ con $(u,v) \in D$.
- **Vector normal**: $\mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v$.
- **Elemento de área**: $dS = |\mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v| du \, dv$.
- **Escalar**: $\iint_S f(x,y,z) dS = \iint_D f(\mathbf{r}(u,v)) |\mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v| du \, dv$.
- **Vectorial (flujo)**: $\iint_S \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S} = \iint_S \mathbf{F} \cdot \mathbf{n} \, dS = \iint_D \mathbf{F}(\mathbf{r}(u,v)) \cdot (\mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v) du \, dv$ (con orientación apropiada).
- **Superficies orientables vs no orientables**: la cinta de Möbius es el contraejemplo canónico (no se puede asignar normal globalmente). En `calculus_2` solo trabajamos con orientables.
### 3.18 Teorema de Stokes
Generalización 3D del teorema de Green:
$$\oint_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = \iint_S (\nabla \times \mathbf{F}) \cdot d\mathbf{S}$$
donde $S$ es una superficie orientada con frontera $C$ (orientación positiva: regla de la mano derecha entre $\mathbf{n}$ y la dirección de $C$).
**Casos especiales**: si $S$ es plana en el plano $xy$, Stokes ⇒ Green. Aplicaciones: cálculo de circulación sin parametrizar la curva; verificar campos.
### 3.19 Teorema de la Divergencia (Gauss)
Generalización 3D del teorema de Green forma flujo:
$$\iint_{\partial E} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S} = \iiint_E \nabla \cdot \mathbf{F} \, dV$$
donde $E$ es un sólido y $\partial E$ es su frontera (con normal exterior).
**Aplicaciones**: cálculo de flujos a través de superficies cerradas vía integral triple (a menudo más simple); demostraciones físicas (conservación de masa, ley de Gauss en electromagnetismo).
### 3.20 ODEs II — lineales de primer orden con factor integrante
- **Forma estándar**: $y' + P(x) y = Q(x)$.
- **Factor integrante**: $\mu(x) = e^{\int P(x) dx}$.
- **Solución**: $\mu(x) y = \int \mu(x) Q(x) dx + C$, despejar $y$.
- **Casos clásicos**: $y' + 2y = e^x$, $xy' - y = x^2$, etc.
**Notar que pre_calculus solo tenía separables; aquí se introducen lineales**.
### 3.21 ODEs II — exactas
- **Forma**: $M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0$.
- **Test de exactitud**: $\partial M/\partial y = \partial N/\partial x$ (criterio de Clairaut, mismo que conservatividad de campos).
- **Solución**: encontrar $\Psi(x,y)$ con $\partial \Psi/\partial x = M$, $\partial \Psi/\partial y = N$. Solución implícita: $\Psi(x,y) = C$.
- **Factor integrante para no-exactas**: si $(M_y - N_x)/N$ es función solo de $x$, se puede multiplicar por $\mu(x) = e^{\int (M_y-N_x)/N \, dx}$ para hacerla exacta (similar análogo si $(N_x - M_y)/M$ es solo de $y$).
### 3.22 ODEs II — lineales de segundo orden con coeficientes constantes (homogéneo)
- **Forma**: $ay'' + by' + cy = 0$ con $a, b, c$ constantes.
- **Ecuación característica**: $ar^2 + br + c = 0$.
- **Tres casos según el discriminante**:
- **Raíces reales distintas** $r_1 \neq r_2$: $y = C_1 e^{r_1 x} + C_2 e^{r_2 x}$.
- **Raíz repetida** $r$: $y = (C_1 + C_2 x) e^{r x}$.
- **Raíces complejas conjugadas** $r = \alpha \pm \beta i$: $y = e^{\alpha x}(C_1 \cos\beta x + C_2 \sin\beta x)$.
### 3.23 ODEs II — no homogéneo
- **Estructura**: $ay'' + by' + cy = g(x)$. Solución general = solución general homogénea + **una solución particular**.
- **Método de coeficientes indeterminados**: cuando $g(x)$ es polinomio, exponencial, sin/cos o productos. Ansatz acordes a $g$, ajustando si hay resonancia (multiplicar por $x$ o $x^2$).
- **Variación de parámetros**: método general que funciona para cualquier $g$ continua. Si $y_1, y_2$ son base del homogéneo y $W$ es el Wronskiano, $y_p = -y_1 \int (y_2 g/(aW)) dx + y_2 \int (y_1 g/(aW)) dx$.
- **Reducción de orden**: dado un solución $y_1$ del homogéneo, encontrar la segunda mediante $y_2 = u(x) y_1$.
### 3.24 ODEs II — aplicaciones físicas
- **Resorte sin amortiguamiento**: $m y'' + k y = 0$, oscilación armónica simple, $\omega = \sqrt{k/m}$.
- **Resorte amortiguado**: $m y'' + c y' + k y = 0$, tres regímenes según el discriminante (sobreamortiguado, crítico, subamortiguado).
- **Resorte forzado**: $m y'' + c y' + k y = F_0 \cos(\omega t)$, con resonancia cuando $\omega = \omega_0$.
- **Circuito RLC**: $L Q'' + R Q' + (1/C) Q = E(t)$ — análogo eléctrico del resorte.
**Convergencia**: MIT 18.03 (separado), UCB Math 54 (combinado con linear algebra), Stanford 53, Oxford HM, UNAM Cálculo IV, Tokyo 解析学 II final. Todos cubren los seis tópicos de 3.20–3.24.
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## 4. Decisiones cubiertas y NO cubiertas
### 4.1 NO cubierto en `calculus_2` (futuros programas o quedan en `calculus_intro`)
| Tópico | Razón | Programa donde irá |
|---|---|---|
| **Álgebra lineal** (espacios vectoriales, transformaciones, eigenvalues, ortogonalidad) | UCB lo une en Math 54, pero conceptualmente es independiente. Estándar mundial: separar. | Programa futuro `linear_algebra` |
| **Tensor calculus / análisis tensorial** | Propio de geometría diferencial / física teórica avanzada (Cambridge IB, MIT 18.952). | Fuera del techo de Rodybee K-12+freshman. |
| **Frenet-Serret completo con torsión formal** | Cambridge Tripos IB lo profundiza; MIT 18.02 solo lo toca cualitativamente. | Torsión queda en intuición; sin formalidad. |
| **Series de Fourier** | Pertenecen a `pde_intro` / análisis de Fourier. | Programa futuro. |
| **Transformada de Laplace** | Estándar de un curso ODE más avanzado (UCB Math 54 sí, MIT 18.03 sí, Cambridge no en IA). | Programa futuro `differential_equations_2` o `linear_algebra` combinado. |
| **Métodos numéricos de ODE (Euler, Runge-Kutta)** | Estándar en cursos de métodos numéricos universitarios. Ortogonal al cálculo formal. | Programa futuro `numerical_methods` o `computational_math`. |
| **PDEs (ecuación del calor, onda, Laplace)** | 18.075 / Math 110 / Cambridge IB. | Programa futuro `pde_intro`. |
| **Análisis real (espacios métricos, Banach, Lebesgue)** | Cambridge IB / MIT 18.100. | Programa futuro `real_analysis`. |
| **Differential geometry avanzada** (manifolds, formas diferenciales) | MIT 18.952, Cambridge II. | Fuera. |
| **Convergencia uniforme de series multivariable** | Análisis real. | Fuera. |
### 4.2 SÍ cubierto en `calculus_2` (con justificación de inclusión)
| Tópico | Justificación |
|---|---|
| **Curvatura κ** | MIT, UCB, Stanford, Tokyo, UNAM convergen. |
| **Torsión τ** (intuitiva) | Tier-1 universitario lo toca; Rodybee en versión cualitativa. |
| **Surface integrals + flux integrals** | Ambos exigidos por todos los syllabi tier-1. |
| **Taylor 2D (multivariable)** | Brevemente: $f(x,y) \approx f(a,b) + \nabla f \cdot \mathbf{h} + \frac{1}{2} \mathbf{h}^T H \mathbf{h}$. MIT 18.02 lo introduce al final del bloque de derivadas parciales; UCB 53 lo menciona en el contexto de la 2nd derivative test. **Decisión**: incluir como una skill ligera, sin penetrar en formas multilineales generales. |
| **Lagrange con 2 restricciones** | MIT 18.02 §15.5 explícito; Cambridge Tripos IA lo cubre. |
| **Variación de parámetros** | UCB Math 54 + MIT 18.03 + Cambridge Differential Equations IA + UNAM IV. Universal. |
| **Reducción de orden** | UCB + MIT + Cambridge convergent. |
| **RLC circuit (modeling)** | MIT 18.03 + UCB + Cambridge la incluyen como ejemplo canónico. UNAM IV también. **Decisión**: incluir como skill aplicada para conectar con física. |
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## 5. Estructura recomendada para Rodybee
**14 hex, ~98 skills**. Densidad similar a `calculus_intro` (13 hex, 94 skills) pero con un hex extra dedicado a ODE II y a teoremas integrales (Stokes / divergencia).
### hex_1 — VECTORES 3D Y GEOMETRÍA AVANZADA (8 skills)
1. `vector_3d_review_full` — Vectores 3D: notación, magnitud, unitarios, suma, escalar (review formal sobre pre_calculus)
2. `dot_product_3d_full` — Dot product en 3D, ángulo, perpendicularidad, projection scalar
3. `cross_product` — Cross product, antisimetría, área del paralelogramo
4. `scalar_triple_product` — Triple product escalar, volumen del paralelepípedo, coplanaridad
5. `vector_projection_3d` — Vector projection y scalar projection en 3D
6. `lines_3d_parametric_symmetric` — Rectas en 3D: vectorial, paramétrica, simétrica
7. `planes_3d_normal_scalar` — Planos: forma normal y forma escalar; ángulos entre planos
8. `distance_point_line_plane_3d` — Distancia punto-recta, punto-plano, recta-recta (skew)
> **Mapping**: MIT 18.02 §1.1–1.4, UCB 53 §12.1–12.5, Stanford 51 §1, UNAM III cap.1, Cambridge IA §1.
### hex_2 — CUÁDRICAS Y SUPERFICIES (5 skills)
9. `quadric_ellipsoid` — Elipsoide: forma canónica y bosquejo
10. `quadric_paraboloid` — Paraboloide elíptico e hiperbólico (silla de montar)
11. `quadric_hyperboloid` — Hiperboloides de una y dos hojas
12. `quadric_cone_cylinder` — Conos y cilindros (degenerados)
13. `quadric_identification` — Identificar cuádrica desde una ecuación general
> **Mapping**: MIT 18.02 §1.6, UCB 53 §12.6.
### hex_3 — FUNCIONES VECTORIALES Y CURVAS (8 skills)
14. `vector_function_definition` — Funciones vectoriales r(t) y curvas en 3D
15. `vector_function_derivative_integral` — r'(t) y ∫r(t) dt, reglas
16. `unit_tangent_principal_normal` — Vectores T y N
17. `binormal_frenet_basics` — Binormal B = T × N, triedro de Frenet (introducción)
18. `arc_length_parametrization` — s(t) = ∫|r'(u)| du; reparametrizar por longitud de arco
19. `curvature_formula_full` — Curvatura κ con fórmulas |T'|/|r'| y |r' × r''|/|r'|³
20. `torsion_intuitive` — Torsión τ (introducción cualitativa)
21. `motion_tangential_normal_components` — a = a_T T + a_N N, descomposición de aceleración
> **Mapping**: MIT 18.02 §13.1–13.4, UCB 53 §13, Stanford 51 §3, Tokyo 解析学 II §2.
### hex_4 — FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES Y LÍMITES (6 skills)
22. `multivariable_function_domain` — Dominio en 2D y 3D, gráficas
23. `level_curves_surfaces` — Curvas y superficies de nivel
24. `multivariable_limit_definition` — Definición ε-δ multivariable
25. `multivariable_limit_path_test` — Path test para no-existencia
26. `iterated_limits_distinction` — Iterated limits y su relación con el límite simultáneo
27. `multivariable_continuity` — Continuidad multivariable, propiedades
> **Mapping**: MIT 18.02 §14.1–14.2, UCB 53 §14.1–14.2, UNAM III cap.2.
### hex_5 — DERIVADAS PARCIALES Y DIFERENCIABILIDAD (7 skills)
28. `partial_derivative_definition` — Definición formal de f_x y f_y, computación básica
29. `partial_derivative_geometric` — Interpretación geométrica de las parciales
30. `higher_order_partials` — Parciales de orden superior y mixed partials
31. `clairaut_theorem` — Teorema de Clairaut sobre igualdad de mixed partials
32. `differentiability_multivariable` — Diferenciabilidad: definición formal y relación con parciales
33. `tangent_plane_equation` — Ecuación del plano tangente
34. `linear_approximation_differential` — Aproximación lineal y diferencial total
> **Mapping**: MIT 18.02 §14.3–14.4, UCB 53 §14.3–14.4, Stanford 51 §4.
### hex_6 — REGLA DE LA CADENA Y DERIVADA DIRECCIONAL (7 skills)
35. `chain_rule_one_independent` — z = f(x,y), x = g(t), y = h(t)
36. `chain_rule_two_independent` — z = f(x,y), x = g(s,t), y = h(s,t)
37. `chain_rule_tree_diagrams` — Tree diagrams para casos generales
38. `implicit_differentiation_2d_3d` — Implícita en 2D (F(x,y)=0) y 3D (F(x,y,z)=0)
39. `directional_derivative` — Derivada direccional D_u f
40. `gradient_vector` — Gradiente ∇f y su interpretación
41. `gradient_perpendicular_level` — ∇f es perpendicular a curvas/superficies de nivel
> **Mapping**: MIT 18.02 §14.5–14.6, UCB 53 §14.5–14.6.
### hex_7 — EXTREMOS MULTIVARIABLE Y LAGRANGE (7 skills)
42. `critical_points_multivariable` — Puntos críticos de f(x,y,z): ∇f = 0
43. `second_derivative_test_2d` — D = f_xx · f_yy − f_xy² (Hessiano 2D)
44. `saddle_point_classify` — Clasificación de saddle points
45. `absolute_extrema_closed_region` — Extremos absolutos en regiones cerradas
46. `lagrange_one_constraint` — Lagrange multipliers con una restricción
47. `lagrange_two_constraints` — Lagrange con dos restricciones simultáneas
48. `taylor_2d_quadratic` — Taylor multivariable de orden 2 (intro ligero)
> **Mapping**: MIT 18.02 §14.7–14.8, UCB 53 §14.7–14.8, Stanford 51 §5.
### hex_8 — INTEGRALES DOBLES (7 skills)
49. `double_integral_rectangle` — Integrales dobles sobre rectángulos, Fubini
50. `double_integral_type_i` — Regiones Tipo I (y entre dos funciones de x)
51. `double_integral_type_ii` — Regiones Tipo II (x entre dos funciones de y)
52. `change_order_integration` — Cambio de orden de integración
53. `double_integral_polar` — Integrales dobles en polares, dA = r dr dθ
54. `double_integral_volume_app` — Aplicaciones: volumen bajo una superficie, área
55. `double_integral_mass_centroid` — Masa con densidad ρ(x,y), centro de masa, valor medio
> **Mapping**: MIT 18.02 §15.1–15.4, UCB 53 §15.
### hex_9 — INTEGRALES TRIPLES Y JACOBIANOS (7 skills)
56. `triple_integral_rectangular` — Integrales triples en coordenadas rectangulares
57. `triple_integral_general_region` — Regiones generales en 3D
58. `triple_integral_cylindrical` — Cilíndricas: x = r cos θ, y = r sin θ, z = z
59. `triple_integral_spherical` — Esféricas: x = ρ sin φ cos θ, y = ρ sin φ sin θ, z = ρ cos φ
60. `jacobian_change_variables` — Jacobiano para cambio general de variables
61. `triple_integral_volume_mass` — Volumen, masa, centro de masa con densidad
62. `moments_inertia_3d` — Momentos de inercia I_x, I_y, I_z
> **Mapping**: MIT 18.02 §15.6–15.9, UCB 53 §15.6–15.9, UNAM III cap.6.
### hex_10 — CAMPOS VECTORIALES, DIVERGENCIA, ROTACIONAL (6 skills)
63. `vector_field_definition` — Campos vectoriales en 2D y 3D
64. `divergence_compute` — Divergencia ∇ · F y su significado
65. `curl_compute` — Rotacional ∇ × F y su significado
66. `conservative_field_test` — Campo conservativo: ∇ × F = 0 o ∂P/∂y = ∂Q/∂x
67. `find_potential_function` — Encontrar f con ∇f = F en campos conservativos
68. `vector_field_visualization` — Visualizar campos: flow lines, sources, sinks
> **Mapping**: MIT 18.02 §16.1, UCB 53 §16.1, Cambridge Tripos IA Vector Calculus §1.
### hex_11 — INTEGRALES DE LÍNEA Y TEOREMA FUNDAMENTAL (6 skills)
69. `line_integral_scalar` — Integrales de línea escalares: ∫_C f ds
70. `line_integral_vector` — Integrales de línea vectoriales: ∫_C F · dr
71. `line_integral_path_independence` — Independencia del camino en campos conservativos
72. `gradient_theorem` — FTC para integrales de línea: ∫_C ∇f · dr = f(B) − f(A)
73. `green_theorem_circulation` — Green forma circulación
74. `green_theorem_flux` — Green forma flujo (divergence form 2D)
> **Mapping**: MIT 18.02 §16.2–16.4, UCB 53 §16.2–16.4.
### hex_12 — INTEGRALES DE SUPERFICIE, STOKES, DIVERGENCIA (7 skills)
75. `parametric_surface_basics` — Superficies parametrizadas r(u,v)
76. `surface_normal_orientation` — Vector normal r_u × r_v y orientación
77. `surface_integral_scalar` — ∫∫_S f dS
78. `surface_integral_vector_flux` — ∫∫_S F · dS = flux integral
79. `stokes_theorem` — Teorema de Stokes: ∮_C F · dr = ∫∫_S (∇ × F) · dS
80. `divergence_theorem_gauss` — Teorema de la divergencia (Gauss)
81. `theorem_strategy_choice` — Cuándo usar Green vs Stokes vs divergencia (decisión estratégica)
> **Mapping**: MIT 18.02 §16.6–16.9, UCB 53 §16.6–16.9, Cambridge Tripos IA Vector Calculus §3, Stanford 52.
### hex_13 — ODE II — PRIMER ORDEN AVANZADO (5 skills)
82. `ode_linear_first_order_integrating_factor` — Lineales y' + P(x) y = Q(x) con μ = e^∫P dx
83. `ode_exact_test_solve` — ODEs exactas con M_y = N_x y función potencial Ψ
84. `ode_integrating_factor_nonexact` — Factor integrante para no-exactas
85. `ode_bernoulli` — Ecuación de Bernoulli (sustitución u = y^(1−n))
86. `ode_first_order_modeling` — Modeling con ODEs lineales (mezclas, RC circuits, decay)
> **Mapping**: MIT 18.03 §1, UCB Math 54 §1, Cambridge Differential Equations IA §1, UNAM IV cap.1.
### hex_14 — ODE II — SEGUNDO ORDEN Y MODELING (12 skills)
87. `ode_second_order_homogeneous_real_distinct` — Caso raíces reales distintas
88. `ode_second_order_homogeneous_repeated` — Caso raíz repetida (factor x extra)
89. `ode_second_order_homogeneous_complex` — Caso raíces complejas (sin/cos)
90. `ode_undetermined_coefficients_polynomial` — Coeficientes indeterminados con g polinomio
91. `ode_undetermined_coefficients_exp_trig` — Coeficientes indeterminados con g exponencial/trig
92. `ode_resonance_modification` — Modificación por resonancia (multiplicar por x o x²)
93. `ode_variation_parameters` — Variación de parámetros con Wronskiano
94. `ode_reduction_of_order` — Reducción de orden dada una solución
95. `ode_spring_unforced` — Resorte sin amortiguamiento (oscilación armónica)
96. `ode_spring_damped` — Resorte amortiguado (3 regímenes)
97. `ode_spring_forced_resonance` — Resorte forzado y resonancia
98. `ode_rlc_circuit` — Circuito RLC como análogo eléctrico
> **Mapping**: MIT 18.03 §2–4, UCB Math 54 §2–4, Stanford 53, Cambridge IA Differential Equations §2, UNAM Cálculo IV cap.2.
**Total: 14 hex, 98 skills.**
### Edad por hex
- hex_1, hex_2, hex_3: [18, 19] (geometría 3D base, freshman primer semestre)
- hex_4, hex_5, hex_6, hex_7: [18, 19] (cálculo diferencial multivariable, freshman segundo semestre)
- hex_8, hex_9: [19, 20] (cálculo integral multivariable, sophomore primer semestre)
- hex_10, hex_11, hex_12: [19, 20] (vectorial completo, sophomore primer-segundo semestre)
- hex_13, hex_14: [19, 20] (ODE II, sophomore segundo semestre)
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## 6. Decisiones clave (architectural)
1. **Álgebra lineal queda FUERA**. Aunque UCB Math 54 la combina con ODEs, conceptualmente es independiente. Estándar mundial: programa separado. Rodybee tendrá `linear_algebra` como programa futuro distinto, con espacios vectoriales abstractos, transformaciones lineales, eigenvalues, ortogonalidad y formas cuadráticas.
2. **Diferential geometry profunda queda FUERA**. Curvatura κ se incluye con fórmulas explícitas; **torsión τ se cubre solo intuitivamente**. Frenet-Serret completo y formas diferenciales, manifolds, etc., quedan fuera del techo de Rodybee freshman/sophomore.
3. **Tensor calculus queda FUERA**. Es propio de geometría diferencial avanzada / física teórica.
4. **Surface integrals y flux integrals AMBOS se incluyen**. Tier-1 los exige. La distinción ∫∫_S f dS (escalar) vs ∫∫_S F · dS (vectorial) es crítica para Stokes y divergencia.
5. **Series de Taylor 2D SÍ entra (ligero)**. Solo orden 2 con Hessiano: $f(x,y) \approx f(a,b) + \nabla f \cdot \mathbf{h} + \frac{1}{2} \mathbf{h}^T H \mathbf{h}$. Justifica el segundo derivada test. Skill 48.
6. **Numerical methods en ODEs (Euler, Runge-Kutta) NO entran**. Es propio de un curso de métodos numéricos. Programa futuro.
7. **Laplace transforms NO entran**. Es estándar en MIT 18.03 y UCB Math 54, pero Rodybee `calculus_2` se concentra en lo geométrico-conceptual de ODE II. Laplace queda para programa futuro `differential_equations_2` o combinado con linear algebra.
8. **ODEs de Bernoulli SÍ entran (skill 85)**. Cambridge IA + Tokyo + UNAM IV las incluyen. Sustitución $u = y^{1-n}$ las reduce a lineales. Es un puente útil entre lineales de primer orden y técnicas más generales.
9. **PDEs NO entran**. Eso es `pde_intro` futuro.
10. **Convergencia uniforme y series funcionales avanzadas NO entran**. Son de análisis real.
11. **El programa cubre ~24-32 meses de práctica diaria**. Mayor que `calculus_intro` (24-30) por la cantidad de casos en ODEs y la densidad geométrica del cálculo vectorial.
12. **Mastery criteria mix**:
- Computational skills (computar parciales, integrales múltiples, solucionar ODEs estándar): MEDIUM
- Geometric/conceptual (curvatura, gradiente como perpendicular, interpretación de divergencia/rotacional, Stokes vs divergencia): LENIENT
- Theorem application (Lagrange, Clairaut, Green, Stokes, Gauss, FTC línea): LENIENT (énfasis en saber CUÁNDO usarlos, no demostrarlos)
- Modeling (resorte, RLC, circuito, mass-centroid): LENIENT
- Memorización (fórmulas curvatura, jacobianos esféricos/cilíndricos, fórmulas variación de parámetros): LENIENT
13. **`world = "math"`. ProgramId cerrado por ahora**.
14. **Difficulty range previsto: 499 → 596** (98 skills sobre `calculus_intro` que terminó en ~498).
15. **Frontera de programa siguiente**: el natural sucesor de `calculus_2` es `linear_algebra` (sophomore segundo semestre / junior primer semestre) o `pde_intro` (junior). Análisis real (`real_analysis`) sería el camino "puro matemáticas".
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## 7. Bibliografía
### 7.1 Cursos universitarios tier-1 (fuentes principales)
- **MIT 18.02 Multivariable Calculus** — MIT OpenCourseWare, varias ediciones disponibles:
- Fall 2007: <https://ocw.mit.edu/courses/18-02-multivariable-calculus-fall-2007/>
- Fall 2010 (con Auroux video lectures): <https://ocw.mit.edu/courses/18-02sc-multivariable-calculus-fall-2010/>
- Spring 2023 update con lecturer Wei Zhang: vía MIT Mathematics Department.
- **MIT 18.03 Differential Equations** — MIT OpenCourseWare: <https://ocw.mit.edu/courses/18-03-differential-equations-spring-2010/>
- **UC Berkeley Math 53 Multivariable Calculus** — UCB Mathematics: <https://math.berkeley.edu/courses>, syllabus actual: <https://math.berkeley.edu/~hutching/teach/53/>
- **UC Berkeley Math 54 Linear Algebra and Differential Equations** — UCB Mathematics. Combina ambos en un curso de un semestre.
- **Stanford MATH 51, 52, 53** (multivariable y ODEs) — Stanford Mathematics Department: <https://mathematics.stanford.edu/academics/undergraduate-program/courses>
- **Cambridge Mathematical Tripos Part IA** — Vector Calculus + Differential Equations: <https://www.maths.cam.ac.uk/undergrad/course/part-ia>
- Vector Calculus IA notes (Hunt): <https://www.damtp.cam.ac.uk/user/examples/>
- **Oxford Honour Moderations** — Multivariable Calculus + Differential Equations for Mathematics: <https://www.maths.ox.ac.uk/study-here/undergraduate-study>
- **University of Tokyo 解析学 II / 微分積分学第二** (Faculty of Science, first year): <https://www.u-tokyo.ac.jp/en/academics/faculties/science.html>
- **Kyoto University 微分積分学続論** (Faculty of Science): <https://www.sci.kyoto-u.ac.jp/en/academics/courses>
- **UNAM Cálculo III + Cálculo IV** — Facultad de Ciencias UNAM: <https://www.fciencias.unam.mx/docencia/horarios>
### 7.2 Cursos universitarios tier-2 (Mexico, contexto regional)
- **ITAM Cálculo II/III** — Departamento de Matemáticas ITAM: <https://matematicas.itam.mx/>
- **Tec de Monterrey Cálculo de Varias Variables** — Tec21 model: <https://tec.mx/es>
### 7.3 Estándares HS de referencia (para confirmar exclusión)
- **AP Calculus BC** — College Board: <https://apcentral.collegeboard.org/courses/ap-calculus-bc/course>
- **IB Mathematics: Analysis and Approaches HL** — IBO: <https://www.ibo.org/programmes/diploma-programme/curriculum/mathematics/>
- **Cambridge International A2 Mathematics 9709**: <https://www.cambridgeinternational.org/programmes-and-qualifications/cambridge-international-as-and-a-level-mathematics-9709/>
- **Cambridge International A2 Further Mathematics 9231**: <https://www.cambridgeinternational.org/programmes-and-qualifications/cambridge-international-as-and-a-level-further-mathematics-9231/>
- **Singapore H2 Mathematics 9758** (JC2): SEAB syllabus 2026.
- **Singapore H3 Mathematics 9820** (oferta avanzada para JC2 top): <https://www.seab.gov.sg/home/examinations/gce-a-level/a-level-syllabus-information>
- **Japan MEXT Math III + Math C**: <https://www.mext.go.jp/en/policy/education/lawandplan/title02/detail02/>
- **KICE 미적분 (Calculus) 2022 Revised Curriculum**: <https://www.kice.re.kr/main.do?s=kice>
### 7.4 Textos canónicos
- **Stewart, J.** *Calculus: Early Transcendentals* (8e o 9e), capítulos 12–17 — Cengage. Texto base de MIT 18.02, UCB 53, Stanford 51.
- **Marsden, J. & Tromba, A.** *Vector Calculus* (6e) — Freeman. Texto histórico de UCB Math 53.
- **Apostol, T.** *Calculus, Volume II* — Wiley. Riguroso, multivariable + algebra lineal.
- **Boyce, W. & DiPrima, R.** *Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems* — Wiley. Texto canónico de MIT 18.03 y UCB Math 54.
- **Edwards, C. H. & Penney, D. E.** *Calculus: Early Transcendentals* (multivariable section) — Pearson.
- **Tenenbaum, M. & Pollard, H.** *Ordinary Differential Equations* — Dover. Compendio extenso de técnicas ODE.
- **Spiegel, M.** *Vector Analysis* (Schaum) — McGraw-Hill. Compendio de problemas de cálculo vectorial.
- **Williamson & Trotter** *Multivariable Mathematics* (linear algebra + multivariable + ODE) — Pearson.
### 7.5 Pedagogía y didáctica de cálculo multivariable
- **Tall, D.** *How Humans Learn to Think Mathematically* — Cambridge, 2013. Capítulos sobre la "encapsulation" de gradiente y campos.
- **Carlson, M., Jacobs, S., Coe, E.** "Applying Covariational Reasoning While Modeling Dynamic Events" — JRME 2002. Importante para entender cómo los estudiantes pasan de single a multivariable.
- **Bressoud, D., Mesa, V., Rasmussen, C.** *Insights and Recommendations from the MAA National Study of College Calculus* — MAA, 2015.
- **Habre, S.** "Students' challenges with polar functions: covariational reasoning and plotting in the polar coordinate system" — IJMEST 2017.
### 7.6 Recursos visuales y simulación
- **Paul's Online Notes (Lamar University)**: <https://tutorial.math.lamar.edu/Classes/CalcIII/CalcIII.aspx>. Notas detalladas Calculus III (multivariable + vectorial completo).
- **Paul's Online Notes Diff Eq**: <https://tutorial.math.lamar.edu/Classes/DE/DE.aspx>.
- **3Blue1Brown Essence of Calculus + Multivariable visualizations**: <https://www.3blue1brown.com/topics/calculus>. Particularmente las series sobre divergencia y rotacional.
- **Khan Academy Multivariable Calculus** (curso completo): <https://www.khanacademy.org/math/multivariable-calculus>.
- **MIT OCW Scholar versions** (con problem sets resueltos): <https://ocw.mit.edu/collections/mit-opencourseware-on-the-go/>.
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## 8. Próximos pasos de implementación
Aplicar el patrón establecido en los 9 programas anteriores:
1. ✅ Doc de research (este archivo)
2. ⏳ Generators file `expanded-calculus-2.ts` (98 multi-choice generators)
3. ⏳ types.ts atómico (ProgramId + PROGRAM_TO_WORLD + 98 SkillIds + 14 LevelIds)
4. ⏳ skills.ts (imports + 98 entradas s({…}) con prereqs + difficulty + age + masteryCriteria)
5. ⏳ levels.ts (14 hex con skills + age range)
6. ⏳ programs.ts (1 entry con descripción + skillsOrder de 98)
7. ⏳ PROGRAM_ICONS en `apps/web/app/(marketing)/curriculum/page.tsx` y `apps/web/app/(marketing)/programs/page.tsx`
8. ⏳ Tests `pnpm --filter @rodybee/curriculum test` + type-check + integration
9. ⏳ `_data/calculus-2.ts` con benchmarks/highlights/rank
10. ⏳ Imports + entry en `[programId]/page.tsx` + `SUPPORTED_PROGRAMS`
11. ⏳ `SOURCE_FILES["calculus_2"]` en `[programId]/source/page.tsx`
12. ⏳ i18n en + es (curriculumPublic.calculus_2 + curriculum.programs + 98 skill labels + 14 hex labels)
13. ⏳ `docs/placement-and-progression.md` actualizar header + bloque catálogo
14. ⏳ Marcar como **primer programa universitario** explícitamente — bandera visible en marketing y placement.
**Difficulty range previsto**: 499 → 596 (98 skills sobre `calculus_intro` que terminó en ~498).
**Riesgo de implementación**: el módulo de cálculo vectorial (hex_10 a hex_12) tiene la mayor densidad de conceptos abstractos del programa. Será crítico asegurar que los generators de Stokes y divergencia tengan visualizaciones claras (campos vectoriales, superficies orientadas) — esto exige más cuidado en `kid` UI que en programas previos. Se recomienda evaluar libs de visualización 3D vectorial (e.g., MathBox, Three.js light-weight) y/o ilustraciones SVG estilizadas con framer-motion.