# Benchmark de estándares mundiales — `calculus_intro`

> **Programa**: `calculus_intro` — Cálculo Diferencial e Integral formal
> **Audiencia**: estudiantes de 17–19 años (G12, freshman universitario, JC2 Y2, IB AA HL Y2, A2, KICE Math II→Calculus, MEXT Math III completo)
> **Estado al 2026-04-30**: programa nuevo desde cero. Prereq directo: `pre_calculus` (donde la derivada y la integral aparecieron como conceptos intuitivos sin formalización). Aquí se formaliza todo: límites con ε-δ, derivada con todas las reglas, integral con FTC y técnicas, ODEs separables, series formales con tests de convergencia, series de Taylor.
> **Fuentes**: AP Calculus AB+BC, IB Mathematics: Analysis and Approaches HL Y2, Cambridge International A2 Mathematics 9709 (Pure 3), Singapore JC2 H2 Mathematics 9758 (Calculus), MEXT Senior High School Math III (微分積分), KICE 2022 Revised Curriculum — Calculus (미적분), MIT OpenCourseWare 18.01 Single Variable Calculus, Stanford MAT 19/20, UC Berkeley Math 1A/1B, UNAM Cálculo Diferencial e Integral I/II.

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## 1. Qué es `calculus_intro` en Rodybee

El programa `calculus_intro` cierra la secuencia HS Math al techo internacional y se traslapa con el primer curso universitario de Cálculo (single-variable calculus completo). Es el programa más demandante de la plataforma porque:

1. **Formaliza** lo que `pre_calculus` introdujo intuitivamente: la definición ε-δ de límite reemplaza la definición intuitiva, la derivada como límite formal incluye todas las reglas (chain, product, quotient, implicit, logarithmic), y la integral como suma de Riemann adquiere las dos partes del Teorema Fundamental del Cálculo.
2. **Construye técnicas operativas completas**: u-sustitución, integración por partes, fracciones parciales en sus tres formas (lineal, repetida, cuadrática irreducible), sustituciones trigonométricas, fórmulas de reducción.
3. **Aplica al modelado**: optimización con restricciones, related rates, ODEs separables (crecimiento exponencial formal, Newton's law of cooling, logística básica), volúmenes por discos/anillos/cascarones, longitud de arco, área de superficie de revolución, trabajo.
4. **Llega a la frontera de Cálculo II**: sucesiones y series formales con todos los tests de convergencia (divergencia, comparación, comparación al límite, razón, raíz, integral, series alternantes), convergencia absoluta vs condicional, series de potencias con radio e intervalo de convergencia, series de Taylor y Maclaurin con resto de Lagrange.

Este programa **no incluye cálculo multivariable** (parciales completas, integrales múltiples, gradientes, divergencia, rotacional, teoremas de Green/Stokes/divergencia). Eso queda para un programa futuro `calculus_2` o `multivariable_calculus`. Tampoco incluye álgebra lineal formal, ecuaciones diferenciales más allá de separables (no lineales, no de orden superior, no transformada de Laplace).

**Edad de entrada**: 17 años (algunos JC2 Y2 / Math III adelantados a 16). **Edad de salida**: 19 años (último año de bachillerato + posibilidad de tomar como freshman universitario). **Duración estimada**: 24–30 meses de práctica diaria de 10–15 min para mastery completa.

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## 2. Tabla comparativa por currículum

| Currículum | Edad típica | Límites ε-δ | Cobertura derivada | Cobertura integral | Series formales | ODEs | Multivariable |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| **AP Calculus AB** (US) | 17–18 | No (intuitivo) | Reglas básicas + chain + implicit | FTC + sustitución básica | No | Separables intro | No |
| **AP Calculus BC** (US) | 17–18 | No (intuitivo) | AB completa + paramétricas + polares + vectoriales | AB + por partes + fracciones parciales + impropias | Sí (todos los tests + Taylor) | Separables completas | No |
| **IB AA HL Y2** | 17–18 | No (intuitivo riguroso) | Reglas completas + implícita + logarítmica | FTC + sustitución + por partes | Sí (Maclaurin + Taylor) | Separables intro | No |
| **Cambridge A2 9709 Pure 3** | 17–18 | No (intuitivo) | Reglas completas + paramétricas | Sustitución + fracciones parciales + por partes | No formal | Separables y de 1er orden | No |
| **Singapore JC2 H2 9758** | 17–18 | No (intuitivo riguroso) | Reglas completas + implícita + paramétricas | Técnicas completas + áreas + volúmenes | No formal | Separables + Newton cooling | No |
| **Japón MEXT Math III** | 17–18 | Sí (ε-δ a discreción) | Reglas completas + implícita + funciones inversas | FTC formal + técnicas completas | No (sequences sí) | Separables intro | No |
| **Korea KICE 2022 — Calculus** | 17–18 | Sí (definición formal) | Reglas completas + implícita + paramétricas | FTC formal + técnicas + áreas + volúmenes | No formal | Separables | No |
| **MIT 18.01 / Stanford / UCB Math 1A-1B** | 18–19 | Sí (ε-δ formal completa) | Completa + Newton + linear approx | FTC + todas las técnicas + impropias | Sí (todos los tests + Taylor con resto) | Separables + lineales 1er orden | No (eso es 18.02 / 1B+) |
| **UNAM Cálculo I-II** | 18–19 | Sí (ε-δ formal) | Completa + MVT + Rolle | Completa + técnicas + áreas + volúmenes | Sí (todos los tests + Taylor) | Separables intro | No |

**Lectura**: el techo mundial formal incluye ε-δ de límite (Math III de Japón, KICE 2022, freshman universitario MIT/Stanford/UCB/UNAM). AP Calculus BC es el techo HS US; equivale aproximadamente a IB AA HL + JC2 H2 + KICE 2022 Calculus en cobertura, aunque AP Calc no formaliza ε-δ. **Decisión Rodybee**: incluir ε-δ como skill explícito (tier-1 internacional lo exige). El techo es la unión de KICE 2022 + MEXT Math III + IB AA HL + Singapore JC2 H2 + AP Calc BC + freshman universitario.

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## 3. Topic-by-topic deep dive

### 3.1 Límites formales (ε-δ)

| Topic | AP AB | AP BC | IB HL | Cambridge A2 | SG JC2 | MEXT III | KICE | Univ. (MIT/etc.) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| ε-δ definition | – | – | – | – | – | ✓ | ✓ | ✓ |
| Limit existence proof | – | – | ✓ | – | ✓ | ✓ | ✓ | ✓ |
| Limit properties (sum/prod) | ✓ | ✓ | ✓ | ✓ | ✓ | ✓ | ✓ | ✓ |
| Squeeze (sandwich) theorem | ✓ | ✓ | ✓ | – | ✓ | ✓ | ✓ | ✓ |
| Continuity formal | ✓ | ✓ | ✓ | ✓ | ✓ | ✓ | ✓ | ✓ |
| Uniform continuity | – | – | – | – | – | – | – | ✓ (algunas) |

**Recomendación Rodybee**: incluir ε-δ explícito (skill `limit_epsilon_delta_definition`). MEXT, KICE y los cursos universitarios lo exigen; representa el salto del cálculo intuitivo al formal. Uniform continuity queda fuera (es propio de cálculo II o análisis real).

### 3.2 Continuidad y teoremas clásicos

- **Bolzano** (caso especial de IVT con f(a) < 0 < f(b))
- **Teorema del Valor Intermedio formal (IVT)**
- **Teorema del Valor Extremo (EVT)** — f continua en [a,b] alcanza máximo y mínimo
- **Teorema del Valor Medio (MVT)** — Lagrange
- **Teorema de Rolle**

JC2 H2, IB HL, KICE Calculus, MEXT Math III, todos los cursos universitarios incluyen los cinco. AP Calc AB y BC incluyen IVT, MVT y Rolle pero no EVT como theorem named.

### 3.3 Derivada — definición y reglas básicas

**Reglas estándar (todos los currículos tier-1 las exigen)**:

1. Definición formal: $f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$ (este skill ya existe en pre_calculus de forma intuitiva; aquí se formaliza con ε-δ subyacente).
2. Constante: $\frac{d}{dx}[c] = 0$
3. Potencia: $\frac{d}{dx}[x^n] = n x^{n-1}$ (para todo n real, no solo natural)
4. Suma/diferencia: $\frac{d}{dx}[f \pm g] = f' \pm g'$
5. **Producto**: $(fg)' = f'g + fg'$
6. **Cociente**: $(f/g)' = (f'g - fg')/g^2$
7. **Cadena**: $(f \circ g)' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$
8. **Implícita**: derivar ecuaciones $F(x,y) = 0$ tratando y como función de x
9. **Logarítmica**: tomar ln de ambos lados antes de derivar (para productos complicados o exponenciales con base variable)

### 3.4 Derivadas de funciones transcendentales

| Función | Derivada |
|---|---|
| $\sin x$ | $\cos x$ |
| $\cos x$ | $-\sin x$ |
| $\tan x$ | $\sec^2 x$ |
| $\sec x$ | $\sec x \tan x$ |
| $\csc x$ | $-\csc x \cot x$ |
| $\cot x$ | $-\csc^2 x$ |
| $\arcsin x$ | $1/\sqrt{1-x^2}$ |
| $\arccos x$ | $-1/\sqrt{1-x^2}$ |
| $\arctan x$ | $1/(1+x^2)$ |
| $e^x$ | $e^x$ |
| $a^x$ | $a^x \ln a$ |
| $\ln x$ | $1/x$ |
| $\log_a x$ | $1/(x \ln a)$ |
| $\sinh x$ | $\cosh x$ |
| $\cosh x$ | $\sinh x$ |

**Hyperbolic functions**: incluidas en MEXT Math III, freshman universitario MIT/Stanford. AP Calc BC y IB HL no las exigen explícitamente. **Decisión Rodybee**: incluir hyperbolic como skill opcional (LENIENT mastery), porque el techo internacional sí las cubre y son naturales de la cadena $e^x$.

### 3.5 Aplicaciones de la derivada (análisis de funciones)

- Monotonía: $f' > 0 \Rightarrow$ creciente, $f' < 0 \Rightarrow$ decreciente
- Extremos locales (1st derivative test)
- Concavidad: $f'' > 0 \Rightarrow$ cóncava hacia arriba
- Puntos de inflexión donde $f'' = 0$ con cambio de signo
- 2nd derivative test para clasificar críticos
- Curve sketching completo (combinando intercepts + asymptotes + monotonía + concavidad + inflexión)
- **MVT (Mean Value Theorem)**: si f continua en [a,b] y diferenciable en (a,b), existe $c \in (a,b)$ tal que $f'(c) = (f(b)-f(a))/(b-a)$
- **Rolle**: caso especial con $f(a) = f(b)$

### 3.6 Aplicaciones de la derivada (modeling)

- **Optimización**: máximos/mínimos con restricciones (caja sin tapa, lata cilíndrica, distancia mínima)
- **Related rates**: dos variables relacionadas vs tiempo (escalera deslizante, globo inflándose, sombra moviéndose)
- **Newton-Raphson**: $x_{n+1} = x_n - f(x_n)/f'(x_n)$
- **Linear approximation / differentials**: $f(x+\Delta x) \approx f(x) + f'(x) \Delta x$
- **L'Hôpital formal**: el rule completo con prueba (no solo el intro intuitivo)

### 3.7 Antiderivada e integral indefinida

Definición: $F$ es antiderivada de $f$ si $F' = f$. Notación $\int f(x) dx = F(x) + C$.

**Fórmulas básicas obligatorias**:
- $\int x^n dx = x^{n+1}/(n+1) + C$ (n ≠ -1)
- $\int 1/x \, dx = \ln|x| + C$
- $\int e^x dx = e^x + C$
- $\int \sin x \, dx = -\cos x + C$
- $\int \cos x \, dx = \sin x + C$
- $\int \sec^2 x \, dx = \tan x + C$
- $\int 1/\sqrt{1-x^2} \, dx = \arcsin x + C$
- $\int 1/(1+x^2) \, dx = \arctan x + C$

**Técnicas básicas**:
- **u-sustitución**: $\int f(g(x))g'(x) dx = \int f(u) du$
- **Por partes**: $\int u \, dv = uv - \int v \, du$ (LIATE/ILATE rule)

### 3.8 Integral definida y FTC

- **Suma de Riemann formal**: partición + puntos muestra + límite de norma → 0
- **Propiedades**: linealidad, intervalos $\int_a^c = \int_a^b + \int_b^c$, comparación
- **FTC Parte I**: si $g(x) = \int_a^x f(t) dt$, entonces $g'(x) = f(x)$
- **FTC Parte II**: $\int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)$ donde $F$ es cualquier antiderivada
- **Average value**: $\bar{f} = (1/(b-a)) \int_a^b f(x) dx$
- **Mean value theorem for integrals**: existe $c$ con $f(c) = \bar{f}$

### 3.9 Técnicas de integración avanzadas

- **Fracciones parciales**:
  - **Lineal distinta**: $\frac{P(x)}{(x-a)(x-b)} = \frac{A}{x-a} + \frac{B}{x-b}$
  - **Lineal repetida**: $\frac{P(x)}{(x-a)^2} = \frac{A}{x-a} + \frac{B}{(x-a)^2}$
  - **Cuadrática irreducible**: $\frac{P(x)}{(x-a)(x^2+bx+c)} = \frac{A}{x-a} + \frac{Bx+C}{x^2+bx+c}$
- **Sustitución trigonométrica**:
  - $\sqrt{a^2 - x^2}$: $x = a \sin\theta$
  - $\sqrt{a^2 + x^2}$: $x = a \tan\theta$
  - $\sqrt{x^2 - a^2}$: $x = a \sec\theta$
- **Potencias trigonométricas**: $\int \sin^m x \cos^n x \, dx$ (separar la potencia impar, usar identidades)
- **Fórmulas de reducción**: $\int \sin^n x \, dx$, $\int \sec^n x \, dx$ (recursivas)
- **Integrales impropias**:
  - **Tipo I** (límites infinitos): $\int_a^\infty f(x) dx = \lim_{t\to\infty} \int_a^t f(x) dx$
  - **Tipo II** (integrandos no acotados): si $f$ tiene asíntota vertical en $c \in [a,b]$, $\int_a^b = \lim_{\epsilon\to 0^+} (\int_a^{c-\epsilon} + \int_{c+\epsilon}^b)$

### 3.10 Aplicaciones de la integral

- **Área entre curvas**: $\int_a^b (f - g) dx$ donde $f \geq g$
- **Volumen por discos**: $V = \pi \int_a^b [f(x)]^2 dx$ (alrededor del eje x)
- **Volumen por anillos (washers)**: $V = \pi \int_a^b ([f]^2 - [g]^2) dx$
- **Volumen por cascarones (shells)**: $V = 2\pi \int_a^b x \cdot f(x) dx$ (alrededor del eje y)
- **Longitud de arco**: $L = \int_a^b \sqrt{1 + [f'(x)]^2} dx$
- **Área de superficie de revolución**: $S = 2\pi \int_a^b f(x) \sqrt{1 + [f'(x)]^2} dx$
- **Trabajo (con fuerza variable)**: $W = \int_a^b F(x) dx$ — incluye problemas de bombeo de líquido y resorte de Hooke

### 3.11 Ecuaciones diferenciales separables

- **Forma**: $dy/dx = g(x) h(y)$ → $\int dy/h(y) = \int g(x) dx$
- **Crecimiento exponencial formal**: $dP/dt = kP$ → $P = P_0 e^{kt}$
- **Newton's law of cooling**: $dT/dt = -k(T - T_{amb})$
- **Ecuación logística** (intro): $dP/dt = kP(1 - P/M)$ — solución sin demostrar
- **Slope fields / direction fields**: visualización gráfica de soluciones

ODEs lineales de 1er orden con factor integrante están al borde — Cambridge A2 las incluye, AP Calc no. **Decisión Rodybee**: incluir solo separables (Singapore JC2 + IB HL + AP Calc BC + KICE Calculus + MEXT Math III convergen ahí). Lineales de 1er orden con factor integrante quedan para `calculus_2`.

### 3.12 Sucesiones y series formales

**Sucesiones**:
- Convergencia formal $a_n \to L$
- Límite de sucesión vs función ($\lim_{n\to\infty} a_n$)

**Series**:
- $\sum a_n$ converge ssi $S_n = \sum_{k=1}^n a_k$ tiene límite finito
- **Test de divergencia**: si $\lim a_n \neq 0$, la serie diverge

**Tests de convergencia**:
- **Geométrica**: $\sum r^n$ converge ssi $|r| < 1$
- **p-series**: $\sum 1/n^p$ converge ssi $p > 1$
- **Comparación directa**: si $0 \leq a_n \leq b_n$ y $\sum b_n$ converge, $\sum a_n$ converge
- **Comparación al límite**: si $\lim a_n/b_n$ es finito y positivo, ambas convergen o divergen
- **Razón (D'Alembert)**: $L = \lim |a_{n+1}/a_n|$ — converge si $L < 1$, diverge si $L > 1$
- **Raíz (Cauchy)**: $L = \lim \sqrt[n]{|a_n|}$
- **Integral**: si $f$ continua, decreciente, positiva, $\sum f(n)$ y $\int_1^\infty f(x) dx$ comparten convergencia
- **Series alternantes (Leibniz)**: si $|a_n|$ decrece a 0, $\sum (-1)^n a_n$ converge

### 3.13 Series de potencias y Taylor

- **Convergencia absoluta** ($\sum |a_n|$ converge) **vs condicional**
- **Power series**: $\sum c_n (x-a)^n$, **radio** $R$ y **intervalo** de convergencia
- **Operaciones**: derivar e integrar término a término dentro del radio de convergencia
- **Serie de Taylor**: $f(x) = \sum f^{(n)}(a) (x-a)^n / n!$
- **Serie de Maclaurin**: caso $a = 0$
- **Series clásicas a memorizar**:
  - $e^x = \sum x^n/n!$
  - $\sin x = \sum (-1)^n x^{2n+1}/(2n+1)!$
  - $\cos x = \sum (-1)^n x^{2n}/(2n)!$
  - $\ln(1+x) = \sum (-1)^{n-1} x^n/n$ (|x| < 1)
  - $1/(1-x) = \sum x^n$ (|x| < 1)
  - $\arctan x = \sum (-1)^n x^{2n+1}/(2n+1)$ (|x| ≤ 1)
- **Resto de Lagrange**: $R_n(x) = f^{(n+1)}(\xi) (x-a)^{n+1}/(n+1)!$ para algún $\xi$ entre $a$ y $x$
- **Serie binomial**: $(1+x)^\alpha = \sum \binom{\alpha}{n} x^n$ (|x| < 1, $\alpha$ real)

### 3.14 Cálculo de funciones paramétricas y polares (extensión)

- $dy/dx$ paramétrico: $(dy/dt)/(dx/dt)$
- $d^2y/dx^2$ paramétrico: $(d/dt)(dy/dx) / (dx/dt)$
- Longitud de arco paramétrico: $\int \sqrt{(dx/dt)^2 + (dy/dt)^2} dt$
- Área en polares: $A = (1/2) \int r^2 d\theta$
- Longitud de arco polar: $\int \sqrt{r^2 + (dr/d\theta)^2} d\theta$

AP Calc BC, IB HL, JC2 H2 y MEXT Math III lo cubren. KICE no lo separa pero lo incluye dentro del bloque general de cálculo. **Decisión Rodybee**: NO crear hex separado; las skills paramétricas/polares de cálculo se incorporan dentro del hex de aplicaciones de la integral (volúmenes y arc length) y el de aplicaciones de la derivada. Razón: ya existe maquinaria paramétrica/polar en pre_calculus, y el delta es solo "ahora derivamos/integramos sobre ellas". Si la cobertura demanda más profundidad después, se separa.

### 3.15 Cálculo multivariable (NO incluido)

Los cursos tier-1 a este nivel **no incluyen** parciales completas, integrales múltiples, vectorial completo. Eso es Cálculo II/III (MIT 18.02, Stanford MAT 51, UCB Math 1B/53, UNAM Cálculo III/IV). Reservado para programa futuro `calculus_2` o `multivariable_calculus`.

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## 4. Estructura recomendada para Rodybee

**13 hex, 94 skills**, distribuidos así:

### hex_1 — LÍMITES FORMALES (ε-δ) — 6 skills
1. `limit_epsilon_delta_definition` — La definición formal: ∀ε>0, ∃δ>0 tal que |x−c|<δ ⇒ |f(x)−L|<ε
2. `limit_existence_proof_formal` — Cómo demostrar que un límite existe usando ε-δ
3. `limit_properties_proof` — Demostrar las propiedades (suma, producto, cociente) desde la definición
4. `limit_squeeze_theorem` — Teorema de la compresión / sándwich
5. `continuity_advanced_theorems` — Continuidad como caso particular de límite, propiedades algebraicas
6. `continuity_uniform_intro` — Continuidad uniforme (introducción cualitativa)

### hex_2 — TEOREMAS CLÁSICOS DE CONTINUIDAD — 6 skills
7. `bolzano_theorem` — Teorema de Bolzano (caso particular de IVT)
8. `ivt_formal_proof` — Teorema del Valor Intermedio formal con prueba
9. `evt_extreme_value_theorem` — Teorema del Valor Extremo (Weierstrass)
10. `mvt_for_continuous` — MVT para funciones continuas
11. `darboux_property` — Propiedad de Darboux (toda derivada cumple IVT, aunque no sea continua)
12. `inverse_function_continuity_thm` — Teorema de continuidad de la función inversa

### hex_3 — DERIVADA: DEFINICIÓN Y REGLAS BÁSICAS — 8 skills
13. `derivative_formal_definition_calc` — Definición formal de la derivada y demostraciones desde el límite
14. `derivative_constant_power_rule` — Regla de la potencia (todo n real)
15. `derivative_sum_difference_rule` — Linealidad
16. `derivative_product_rule` — Regla del producto
17. `derivative_quotient_rule` — Regla del cociente
18. `derivative_chain_rule` — Regla de la cadena
19. `derivative_implicit` — Diferenciación implícita
20. `derivative_logarithmic` — Diferenciación logarítmica

### hex_4 — DERIVADAS DE FUNCIONES TRANSCENDENTALES — 7 skills
21. `derivative_trig_full` — Las seis funciones trigonométricas
22. `derivative_inverse_trig` — arcsin, arccos, arctan
23. `derivative_exponential` — e^x y a^x
24. `derivative_logarithm` — ln x y log_a x
25. `derivative_hyperbolic` — sinh, cosh, tanh
26. `derivative_higher_order` — f'', f''', f^(n) y patrones
27. `derivative_inverse_function_general` — Derivada de la inversa: (f^(-1))'(y) = 1/f'(x)

### hex_5 — ANÁLISIS DE FUNCIONES VÍA DERIVADA — 9 skills
28. `monotonicity_first_derivative_test` — Crecimiento/decrecimiento desde f'
29. `extrema_local_global` — Distinción local vs global
30. `first_derivative_test_classify` — Clasificación de puntos críticos por f'
31. `concavity_second_derivative` — Concavidad desde f''
32. `inflection_points_classify` — Identificar puntos de inflexión
33. `second_derivative_test` — Test de la segunda derivada
34. `curve_sketching_complete` — Bosquejo completo combinando f, f', f''
35. `mean_value_theorem` — MVT (Lagrange)
36. `rolle_theorem` — Teorema de Rolle

### hex_6 — MODELING CON DERIVADA — 6 skills
37. `optimization_constrained` — Optimización con restricción (caja, lata, ventana, etc.)
38. `related_rates` — Tasas relacionadas
39. `newton_raphson_method` — Método de Newton-Raphson formal
40. `linear_approximation` — Aproximación lineal y diferenciales
41. `lhopital_rule_formal` — L'Hôpital formal completa
42. `differentials_estimation` — Estimación con diferenciales (error)

### hex_7 — ANTIDERIVADA E INTEGRAL INDEFINIDA — 6 skills
43. `antiderivative_definition` — F'=f, notación ∫f dx = F+C
44. `antiderivative_basic_formulas` — Tabla de antiderivadas básicas
45. `antiderivative_transcendentals` — exp, log, trig, inverse trig
46. `u_substitution` — Sustitución u
47. `integration_by_parts` — Integración por partes (LIATE/ILATE)
48. `integration_table_use` — Uso de tabla de integrales

### hex_8 — INTEGRAL DEFINIDA Y FTC — 7 skills
49. `riemann_integral_formal` — Definición formal de integral de Riemann
50. `riemann_sum_to_definite_integral` — Suma de Riemann ⇒ integral definida
51. `properties_definite_integral` — Linealidad, aditividad, monotonía
52. `ftc_part1` — TFC Parte I: g(x) = ∫_a^x f(t) dt ⇒ g'(x) = f(x)
53. `ftc_part2` — TFC Parte II: ∫_a^b f = F(b) − F(a)
54. `average_value_theorem` — Valor promedio y teorema del valor medio para integrales
55. `integral_signed_area_full` — Áreas con signo en intervalos arbitrarios

### hex_9 — TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN AVANZADAS — 8 skills
56. `integration_partial_fractions_linear` — Fracciones parciales (factores lineales distintos)
57. `integration_partial_fractions_repeated` — Lineales repetidos
58. `integration_partial_fractions_quadratic` — Cuadráticas irreducibles
59. `integration_trig_substitution` — Sustituciones trigonométricas (3 formas)
60. `integration_trig_powers` — Potencias de sin/cos, sec/tan
61. `integration_reduction_formula` — Fórmulas de reducción
62. `improper_integral_type1` — Tipo I (límites infinitos)
63. `improper_integral_type2` — Tipo II (integrando no acotado)

### hex_10 — APLICACIONES DE LA INTEGRAL — 7 skills
64. `area_between_curves` — Área entre dos curvas
65. `volume_disk_method` — Volumen por discos
66. `volume_washer_method` — Volumen por anillos
67. `volume_shell_method` — Volumen por cascarones cilíndricos
68. `arc_length_integral` — Longitud de arco
69. `surface_area_revolution` — Área de superficie de revolución
70. `work_pumping_integral` — Trabajo (resorte, bombeo, gravedad variable)

### hex_11 — ECUACIONES DIFERENCIALES SEPARABLES — 5 skills
71. `ode_separable_solve` — Resolver ODEs separables
72. `ode_exponential_growth_formal` — Crecimiento/decaimiento exponencial formal (dP/dt = kP)
73. `ode_newton_cooling` — Ley de enfriamiento de Newton
74. `ode_logistic_intro` — Ecuación logística (introducción)
75. `slope_field_intro` — Slope fields (campos de pendientes)

### hex_12 — SUCESIONES Y SERIES FORMALES — 11 skills
76. `sequence_convergence_formal` — Convergencia de sucesiones formal
77. `series_convergence_formal` — Convergencia de series formal
78. `divergence_test` — Test de divergencia (a_n ↛ 0 ⇒ diverge)
79. `geometric_series_formal` — Serie geométrica con prueba de convergencia
80. `p_series_test` — Series p (convergencia ssi p > 1)
81. `comparison_test_direct` — Comparación directa
82. `limit_comparison_test` — Comparación al límite
83. `ratio_test` — Test de la razón (D'Alembert)
84. `root_test` — Test de la raíz (Cauchy)
85. `integral_test_convergence` — Test de la integral
86. `alternating_series_test` — Test de Leibniz

### hex_13 — SERIES DE POTENCIAS Y TAYLOR — 8 skills
87. `absolute_conditional_convergence` — Convergencia absoluta vs condicional
88. `power_series_radius_interval` — Radio e intervalo de convergencia
89. `power_series_term_operations` — Derivación e integración término a término
90. `taylor_series_definition` — Definición formal de la serie de Taylor
91. `taylor_polynomials` — Polinomios de Taylor
92. `maclaurin_classics` — Series de Maclaurin clásicas (e^x, sin, cos, ln(1+x), 1/(1-x), arctan)
93. `taylor_remainder_lagrange` — Resto de Lagrange y cotas de error
94. `binomial_series` — Serie binomial (1+x)^α

**Edad por hex**:
- hex_1, hex_2: [17, 18]
- hex_3, hex_4: [17, 18]
- hex_5, hex_6: [17, 18]
- hex_7, hex_8: [17, 18]
- hex_9, hex_10: [18, 19]
- hex_11: [18, 19]
- hex_12, hex_13: [18, 19]

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## 5. Decisiones clave (architectural)

1. **ε-δ SÍ entra como skill formal** (hex_1.skill_1). Razón: MEXT Math III, KICE 2022 Calculus, MIT 18.01, UCB Math 1A, UNAM Cálculo I lo exigen. AP Calc no lo formaliza pero IB HL y SG H2 lo tratan rigurosamente. El techo internacional lo demanda.

2. **Cálculo multivariable NO entra**. Reservado para programa futuro `calculus_2` o `multivariable_calculus`. Los cursos tier-1 (MIT 18.01, UCB 1A) lo separan en su segundo curso.

3. **Hyperbolic functions SÍ entran**. MEXT Math III + cursos universitarios las incluyen. AP Calc BC e IB HL no las exigen pero las recomiendan. Mastery LENIENT (no se requieren para pasar el programa, pero sí están).

4. **ODEs lineales con factor integrante NO entran**. Solo separables (convergencia entre AP Calc BC, IB HL, JC2 H2, KICE Calculus, MEXT III). Lineales 1er orden generales para `calculus_2`.

5. **Series de Taylor con resto de Lagrange SÍ entran**. AP Calc BC + IB HL + cursos universitarios convergen. Cauchy form del resto NO (es propio de análisis).

6. **Cálculo paramétrico/polar SE INTEGRA en los hex existentes**, no se separa. Skills relevantes (derivada paramétrica, área en polares, longitud de arco paramétrico) van dentro de hex_5/6/10. Razón: ya hay maquinaria paramétrica/polar en pre_calculus; aquí solo se aplica derivada/integral sobre ellas.

7. **Convergencia uniforme NO entra**. Es propia de análisis real (continuación de calculus_2 o real analysis).

8. **L'Hôpital formal entra en hex_6**. La intro intuitiva ya está en pre_calculus. Aquí se demuestra y se aplica a las 7 formas indeterminadas (0/0, ∞/∞, 0·∞, ∞−∞, 1^∞, 0^0, ∞^0).

9. **Newton-Raphson SÍ entra** (hex_6). Cambridge A2 lo formaliza, MIT/Berkeley lo incluyen como aplicación de derivada.

10. **Slope fields SÍ entran** (hex_11). AP Calc BC + IB HL + JC2 H2 los visualizan; refuerzan la conexión geométrica de las ODEs.

11. **Edad de entrada 17, salida 19**. Ligeramente superior a `pre_calculus` para reflejar que son ~3 semestres universitarios condensados.

12. **Mastery criteria mix**:
    - Computational skills (derivar polinomios, integrales por partes): MEDIUM
    - Conceptual + theoretical (ε-δ, MVT, FTC, tests de convergencia): LENIENT
    - Bridging skills (linear approximation, slope fields): LENIENT
    - Memorización tabla (derivadas trig, antiderivadas básicas, series clásicas): LENIENT

13. **world = "math"**, ProgramId cerrado por ahora.

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## 6. Bibliografía

### Fuentes oficiales

- **AP Calculus AB & BC** — College Board CED 2024-25: <https://apcentral.collegeboard.org/courses/ap-calculus-ab/course> y <https://apcentral.collegeboard.org/courses/ap-calculus-bc/course>
- **IB Mathematics: Analysis and Approaches HL** — IBO Programme Curriculum: <https://www.ibo.org/programmes/diploma-programme/curriculum/mathematics/>
- **Cambridge International A Level Mathematics 9709 (Pure 3)** — Cambridge Assessment International Education: <https://www.cambridgeinternational.org/programmes-and-qualifications/cambridge-international-as-and-a-level-mathematics-9709/>
- **Singapore JC2 H2 Mathematics 9758** — Singapore Examinations and Assessment Board: <https://www.seab.gov.sg/home/examinations/gce-a-level/a-level-syllabus-information>
- **MEXT 高等学校 数学 III** — Japan Ministry of Education: <https://www.mext.go.jp/en/policy/education/lawandplan/title02/detail02/>
- **KICE 2022 Revised Curriculum — Calculus (미적분)** — Korea Institute for Curriculum and Evaluation: <https://www.kice.re.kr/main.do?s=kice>

### Cursos universitarios de referencia

- **MIT 18.01 Single Variable Calculus** — MIT OpenCourseWare: <https://ocw.mit.edu/courses/18-01-single-variable-calculus-fall-2006/>
- **Stanford MAT 19/20** — Stanford Mathematics Department course catalog: <https://mathematics.stanford.edu/>
- **UC Berkeley Math 1A/1B** — UC Berkeley Mathematics: <https://math.berkeley.edu/courses>
- **UNAM Cálculo Diferencial e Integral I/II** — Facultad de Ciencias UNAM: <https://www.fciencias.unam.mx/docencia/horarios>

### Textos canónicos referenciados

- Stewart, J. *Calculus: Early Transcendentals* (8e o 9e) — Cengage. Texto base de AP Calc, MIT 18.01, Stanford, UCB.
- Spivak, M. *Calculus* — Publish or Perish. Texto riguroso (más cercano a un curso de análisis introductorio).
- Apostol, T. *Calculus* (Vol I y II) — Wiley. Riguroso, usado en honors freshman calculus.
- Larson, R. & Edwards, B. *Calculus* — Cengage. Texto comparable a Stewart.
- Thomas' *Calculus* (14e) — Pearson.

### Referencias de pedagogía calculus

- Tall, D. *How Humans Learn to Think Mathematically*. Cambridge, 2013 — la "encapsulation" del concepto de límite.
- Sfard, A. *Reification* — proceso vs objeto en cálculo (1991).
- Williams, S. R. "Models of limit held by college calculus students" — JRME 1991.
- Bressoud, D. M. *A Radical Approach to Real Analysis* — MAA, 2007. Histórico de cómo se llegó a ε-δ.

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## 7. Próximos pasos de implementación

Aplicar el patrón establecido en los 8 programas anteriores:

1. ✅ Doc de research (este archivo)
2. ⏳ Generators file `expanded-calculus-intro.ts` (94 multi-choice generators)
3. ⏳ types.ts atómico (ProgramId + PROGRAM_TO_WORLD + 94 SkillIds + 13 LevelIds)
4. ⏳ skills.ts (imports + 94 entradas s({…}) con prereqs + difficulty + age + masteryCriteria)
5. ⏳ levels.ts (13 hex con skills + age range)
6. ⏳ programs.ts (1 entry con descripción + skillsOrder de 94)
7. ⏳ PROGRAM_ICONS en `apps/web/app/(marketing)/curriculum/page.tsx` y `apps/web/app/(marketing)/programs/page.tsx`
8. ⏳ Tests `pnpm --filter @rodybee/curriculum test` + type-check
9. ⏳ `_data/calculus-intro.ts` con benchmarks/highlights/rank
10. ⏳ Imports + entry en `[programId]/page.tsx` + `SUPPORTED_PROGRAMS`
11. ⏳ `SOURCE_FILES["calculus_intro"]` en `[programId]/source/page.tsx`
12. ⏳ i18n en + es (curriculumPublic.calculus_intro + curriculum.programs + 94 skill labels + 13 hex labels)
13. ⏳ `docs/placement-and-progression.md` actualizar header + bloque catálogo

Difficulty range previsto: 405 → 498 (94 skills sobre algebra_2 que terminó en 338 y pre_calculus que terminó en 404).