Differential Equations II / Mathematical Methods — the integrative course where engineers and physicists meet, calibrated to MIT 18.03 + 18.085 + Berkeley 121A + Cambridge Tripos IB Methods + Stanford EE 261 + UNAM + Tokyo.

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Bloque Laplace completo (definición ∫_0^∞ e^(-st) f(t) dt, tabla básica, linealidad, primer y segundo shift, derivada en s, derivada en t = sF − f(0), integración → F/s, periódicas, inversa por tablas + fracciones parciales + completar el cuadrado, Heaviside u_a, Dirac delta, convolución (f * g) y teorema L{f*g} = F·G); aplicación a IVPs (constante, continuo, escalonado, impulso) con respuesta al impulso h(t), función de transferencia H(s) y función de Green; sistemas lineales x' = Ax con método de eigenvalues (real distinto, complejo conjugado, repetido defectivo con eigenvectores generalizados), matriz fundamental Φ, matriz exponencial e^(tA) por diagonalización y serie general; retratos de fase 2×2 con clasificación completa (nodos propios e impropios, sillas, espirales, centros, casos degenerados, plano traza-determinante, resumen de estabilidad lineal Re(λ_i) < 0).

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Series solutions de ODEs (puntos ordinarios vs singulares regulares vs irregulares, sustituir y = Σ a_n x^n con recurrencia, método de Frobenius con ecuación indicial r² + (p_0 − 1)r + q_0 = 0 y los tres casos de raíces — distintas no-enteras, repetidas con término logarítmico, integer-difference); funciones especiales (Gamma con Γ(s) = ∫t^(s-1)e^(-t)dt y Γ(n+1)=n!, Γ(½)=√π; Bessel J_ν Y_ν solución de x²y'' + xy' + (x²−ν²)y = 0 vía Frobenius, ortogonalidad con peso x en [0,R] y zeros α_(n,k); Legendre P_n con Rodrigues = (1/(2^n n!)) (d^n/dx^n)(x²−1)^n y ortogonalidad con peso 1 en [-1,1]; Hermite intro con Rodrigues + peso e^(-x²) link a oscilador armónico cuántico; estrategia: cilíndrico → Bessel, esférico → Legendre, gaussianas → Hermite). Series de Fourier completas (definición a_0/2 + Σ a_n cos + b_n sin, ortogonalidad trigonométrica, fórmulas de coeficientes, extensiones par/impar para series puras de senos / cosenos, Dirichlet pointwise (f^- + f^+)/2 en saltos, convergencia uniforme + L² + Parseval, fenómeno de Gibbs ~9% overshoot, forma compleja Σ c_n e^(inπx/L)). Transformada de Fourier (convención EE/física e^(-iωx) con 1/(2π) en inversa, ejemplos canónicos δ → 1, Gaussiana → Gaussiana, rect → sinc, exp → Lorentziana; propiedades linealidad/shift/escalado/derivada iω; teorema de convolución F̂{f*g} = F̂Ĝ; Plancherel-Parseval; aplicación a calor en línea infinita con kernel de calor; principio de incertidumbre Heisenberg-Fourier).

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Ecuación del calor (derivación desde ley de Fourier + conservación → u_t = α² u_xx, separación de variables en barra finita Dirichlet con eigenfunciones sin(nπx/L) y modos T_n(t) = e^(-α²(nπ/L)²t), expansión Fourier de condición inicial, Neumann + Robin BCs, kernel de calor en línea infinita K_t(x) = (1/√(4πα²t))e^(-x²/(4α²t)), propiedades cualitativas: principio del máximo + irreversibilidad + suavizamiento). Ecuación de onda (derivación cuerda vibrante → u_tt = c² u_xx, fórmula de d'Alembert u(x,t) = ½(f(x-ct)+f(x+ct)) + (1/2c)∫g, modos cuerda finita, ondas viajeras, conservación de energía). Ecuación de Laplace (rectángulo 2D con dobles series Fourier, kernel de Poisson en disco, principio del máximo + propiedad de la media + unicidad). Sturm-Liouville (forma -(py')'+qy = λwy, operador autoadjunto en L²_w, eigenvalues reales + eigenfunciones ortogonales, completitud, unificación: Fourier es S-L con p=1,q=0,w=1 + Bessel es S-L con p=x,w=x + Legendre es S-L con p=1-x²,w=1; BVP Dirichlet/Neumann/Robin con compatibilidad para Neumann; expansión en eigenfunciones para inhomogéneo Lu = f). Aplicaciones (problemas cilíndricos → Bessel, esféricos → Legendre + harmónicos esféricos preview, signal processing Fourier intro con power spectrum + filtros + Nyquist, oscilador armónico cuántico → Hermite, control theory Laplace con función de transferencia + polos + estabilidad, vibrations modal analysis para estructuras, decisión estratégica final ¿Laplace vs Fourier vs separación vs Sturm-Liouville?).