# Benchmark de Pre-Calculus contra estándares mundiales
> Estado: research vivo (2026-04-30) — WebSearch contra fuentes oficiales primarias (apcentral.collegeboard.org, thecorestandards.org, seab.gov.sg, cambridgeinternational.org, qualifications.pearson.com, ibo.org, jasso.go.jp, educagob.educacionfpydeportes.gob.es, dgb.sep.gob.mx, qcaa.qld.edu.au, scsa.wa.edu.au) + cross-check con sitios secundarios reconocidos (Khan Academy, Fiveable, Flipped Math, Save My Exams, Revision Village, Mathspace, LibreTexts, CK-12). WebFetch denegado en sesión; los textos extractados por WebSearch contra los PDFs oficiales son densos y suficientes para citar con seguridad.
> Programa cubierto: **Pre-Calculus G11-G12** (~edades 16-18) — el delta sobre `algebra_2` (que cerró logs+e+ln, polinomios y racionales avanzados, trigonometría completa con unit circle/identidades/gráficas/inverse trig, sigma+series geom finitas/infinitas, matrices+sistemas 3×3, combinatoria+binomial, condicional+Bayes+normal, cónicas básicas, complex numbers en Cartesian) y `geometry_secondary` (que cerró trig del triángulo rectángulo + ley senos/cosenos).
> Documentos hermanos: `standards-benchmark-{arithmetic,reading,geometry,fractions,pre-algebra,algebra-1,geometry-secondary,algebra-2}.md`. **Noveno documento** de la serie y **quinto y último de High School Math** — el puente formal a calculus.
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## 1. Resumen ejecutivo
- **El techo de Pre-Calculus está dominado por cinco perfiles distintos**, todos converging en el mismo cuerpo conceptual de "puente a calculus":
1. **AP Precalculus (College Board, US)** — el techo americano oficial post-2023, organizado en 4 unidades: U1 Polynomial and Rational Functions, U2 Exponential and Logarithmic Functions, U3 Trigonometric and Polar Functions, U4 Functions Involving Parameters, Vectors, and Matrices. Sólo U1-U3 evaluadas en el examen; U4 es "additional" pero curricularmente esperada. ([AP Precalculus Course Overview PDF](https://apcentral.collegeboard.org/media/pdf/ap-precalculus-course-overview.pdf), [AP Precalculus Course Framework Feb 2022 Preview](https://aztransmac2.asu.edu/ATF/ATF_EXAM_INFO/AP_Precalculus_CourseExamOverview.pdf))
2. **Cambridge International A Level Mathematics 9709 Pure 2 + Pure 3** — el techo internacional **más comprensivo**: Pure 3 incluye logs/exp completos con calculus, complex numbers en Cartesian + Argand + polar, vectors en 3D con scalar product + ecuaciones de líneas/planos, differential equations, parametric differentiation. ([Cambridge 9709 syllabus 2026-2027 PDF](https://www.cambridgeinternational.org/Images/697427-2026-2027-syllabus.pdf))
3. **Singapore JC1+JC2 H2 Mathematics 9758** — el techo asiático **más denso conceptualmente**, con calculus diferencial e integral completos, vectors 3D (scalar/vector products, líneas y planos, intersección, distancias), complex numbers (Cartesian + polar), Maclaurin series, hypothesis testing, normal+binomial. ([SEAB H2 Math 9758 syllabus 2026 PDF](https://www.seab.gov.sg/files/A%20Level%20Syllabus%20Sch%20Cddts/2026/9758_y26_sy.pdf), [MOE Pre-University H2 Mathematics 2024 PDF](https://www.moe.gov.sg/-/media/files/post-secondary/syllabuses/maths/2024-pre-university-h2-mathematics.pdf))
4. **IB DP Mathematics: Analysis & Approaches HL Year 1** + **Applications & Interpretation HL Year 1** — el techo IB. AA HL incluye proof by induction completa (con base case + inductive hypothesis + inductive step + conclusion), complex numbers en Cartesian + polar + Euler/exponential + DeMoivre + nth roots, vectors con ecuaciones paramétricas de líneas, calculus completo (límites, derivadas, integrales). ([IB DP AA subject brief PDF](https://ibo.org/contentassets/5895a05412144fe890312bad52b17044/subject-brief-dp-math-analysis-and-approaches-en.pdf))
5. **ACARA Specialist Mathematics Year 11-12** + **QCAA Specialist Mathematics 2025** — el techo australiano. Specialist Y11 cubre combinatorics, vectors 2D, real and complex numbers; Y12 cubre vectors 3D + vector calculus (con ecuaciones paramétricas de movimiento), complex numbers avanzados, further calculus. ([WA SCSA Specialist ATAR Y11 syllabus PDF](https://senior-secondary.scsa.wa.edu.au/__data/assets/pdf_file/0005/1088906/Mathematics-Specialist-ATAR-Year-11-Syllabus-for-teaching-from-January-2024_pdf.PDF), [QCAA Specialist Mathematics 2025 v1.4 syllabus PDF](https://www.qcaa.qld.edu.au/downloads/senior-qce/syllabuses/snr_maths_specialist_25_syll.pdf))
- **Decisión arquitectónica clave**: Pre-Calculus cubre G11-G12 unificado (edades 16-18), aunque la mayoría de estándares lo distribuyen en 1-2 años. Es el programa **más abstracto del HS Math de Rodybee** — el primero donde el kid encuentra **límites formales, ratio de cambio instantáneo, sumas de Riemann, vectores 3D y complex numbers en forma polar con DeMoivre**. Es la **frontera con calculus**.
- **Quintetto de centros de gravedad**:
(a) **Vectores 2D y 3D + dot product + cross product** (~12% del programa, hex propio)
(b) **Parametric + polar + complex polar/DeMoivre** (~18%, dos hex completos)
(c) **Límites + continuidad + IVT** (~15%, hex propio — es el bloque conceptualmente más denso del programa)
(d) **Tasa de cambio + área bajo curva (intro a derivada/integral)** (~12%, hex propio — la puerta a calculus)
(e) **Identidades trig avanzadas + induction + sucesiones avanzadas** (~15%)
Estos cinco bloques suman ~72% del programa. Funciones avanzadas (composición/inverse formales/piecewise/floor/función especial) ocupan ~18%; el resto es modeling/asymptotic analysis.
- **Bandera roja Rodybee**: `pre_calculus` no existe. Es el **quinto y último programa de HS Math que falta**. Sin él, el kid sale del HS Rodybee con `algebra_2` cerrado pero sin límites, sin derivada conceptual, sin vectores, sin parametric/polar, sin DeMoivre, sin induction. Eso es **inaceptable** para un sistema que se compara con AP Precalculus / Cambridge A Level / IB DP / Singapore JC.
- **Volumen propuesto**: **11 hex / ~62 skills** — denso pero más acotado que `algebra_2` (12 hex / 70 skills). El programa es más **profundo** que ancho — cada topic exige estructura formal, no muchas familias nuevas.
- **Decisión arquitectónica crítica resuelta**: **incluir intro intuitivo a derivada e integral** en `pre_calculus` (hex_10), pero NO incluir técnicas formales de derivación/integración (regla de la cadena, integral por sustitución, integración por partes, etc.). Esas técnicas se reservan para un futuro `calculus_intro`. El criterio: AP Precalculus, IB AA HL Y1, Cambridge AS Pure 1 y Korea Calculus II **introducen** la derivada como **límite del cociente diferencial** sin ejecutar técnicas; AP Calculus AB y Cambridge A2 Pure 3 las ejecutan. La línea de quiebre es nítida.
- **Decisión secundaria**: **vectores van en pre_calculus**, NO en `calculus_intro`. Razón: AP Precalculus U4, Cambridge AS Pure 1 + A2 Pure 3, IB AA HL Y1, Singapore JC1, ACARA Specialist Y11, Spain Bachillerato 2° — TODOS ponen vectores aquí. Sólo Japan Math C los pone aparte como curso separado.
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## 2. Metodología
### Fuentes consultadas (research vivo)
- **AP Precalculus (US)** — [AP Central course page](https://apcentral.collegeboard.org/courses/ap-precalculus), [AP Precalculus Course and Exam Description PDF](https://apcentral.collegeboard.org/media/pdf/ap-precalculus-course-and-exam-description.pdf), [AP Precalculus Course Overview PDF](https://apcentral.collegeboard.org/media/pdf/ap-precalculus-course-overview.pdf), [Course Framework Feb 2022 Preview PDF (mirror at ASU)](https://aztransmac2.asu.edu/ATF/ATF_EXAM_INFO/AP_Precalculus_CourseExamOverview.pdf). Cross-check con [Flipped Math AP Precalc](https://precalculus.flippedmath.com/ap-precalc.html), [Fiveable AP Precalc Unit Reviews](https://fiveable.me/ap-pre-calc), [Albert.io AP Precalculus Overview](https://www.albert.io/blog/ap-precalculus-overview/).
- **CCSS HS (+) standards** — [CCSS HS Functions](https://www.thecorestandards.org/Math/Content/HSF/), [CCSS HS Number & Quantity Vector & Matrix](https://www.thecorestandards.org/Math/Content/HSN/VM/), [CCSS HS Number & Quantity Complex](https://www.thecorestandards.org/Math/Content/HSN/CN/), [Maryland MCCRS Precalculus](https://www.marylandpublicschools.org/about/Documents/DCAA/Math/MCCRSM/MCCRSPreCalculus.pdf), [Tennessee Precalculus Standards 2022](https://www.tn.gov/content/dam/tn/stateboardofeducation/documents/2022-sbe-meetings/may-20,-2022-sbe-meeting/5-20-22%20III%20M%20TN%20Academic%20Standards%20for%20Fourth-Year%20Math%20Attachment%202%20-%20Pre-calculus.pdf), [California Precalculus 2013](https://all4ed.org/wp-content/uploads/2015/01/Precalculus.pdf), [Montgomery County MD Precalculus Unit 4 Vectors/Parametrics/Polars](https://www.montgomeryschoolsmd.org/siteassets/district/curriculum/math/high/precalculus/ccss.precalculus.unit-4.vectors-parametrics-and-polars-for-parents.pdf).
- **Cambridge International AS & A Level Mathematics 9709 (Pure 2 + Pure 3)** — [Syllabus 2026-2027 PDF](https://www.cambridgeinternational.org/Images/697427-2026-2027-syllabus.pdf), [Syllabus update 2026-2027](https://www.cambridgeinternational.org/Images/723728-2026-2027-syllabus-update.pdf), [Pure 3 Scheme of Work](https://cdnsm5-ss20.sharpschool.com/UserFiles/Servers/Server_4756360/File/Academics/Magnet%20Program%20-%20Cambridge%20AICE/Cambridge%20Resources%20for%20Teaching/Mathematics%20Pure%20Math%20Paper%203%20Scheme%20of%20Work.pdf). Cross-check con [Sparkl P3 Vectors revision notes](https://www.sparkl.me/learn/as-a-level/mathematics-9709/vector-operations-equations-of-lines-and-intersection/revision-notes/5149), [Rocket Revise CIE A-Level P3](https://rocketrevise.com/a-level-cambridge/cie-a-level-maths-9709/cie-a-level-maths-p3/).
- **Singapore SEAB H2 Mathematics 9758** — [Syllabus 2026 PDF](https://www.seab.gov.sg/files/A%20Level%20Syllabus%20Sch%20Cddts/2026/9758_y26_sy.pdf), [Syllabus 2024 PDF (referencia)](https://www.seab.gov.sg/docs/default-source/national-examinations/syllabus/alevel/2024syllabus/9758_y24_sy.pdf), [MOE Pre-University H2 Math 2024 PDF](https://www.moe.gov.sg/-/media/files/post-secondary/syllabuses/maths/2024-pre-university-h2-mathematics.pdf). Cross-check con [Eclat Institute H2 Math 2026-27 syllabus breakdown](https://eclatinstitute.sg/blog/h2-maths-notes/A-Level-Mathematics-Syllabus-2026-27), [Ancourage Academy JC Guide 2026](https://ancourage.academy/articles/h2-mathematics-jc-guide-singapore).
- **IB DP Mathematics: AA HL Year 1 + AI HL Year 1** — [IB DP Maths page](https://ibo.org/programmes/diploma-programme/curriculum/mathematics/), [AA subject brief PDF](https://ibo.org/contentassets/5895a05412144fe890312bad52b17044/subject-brief-dp-math-analysis-and-approaches-en.pdf), [AI subject brief PDF](https://ibo.org/contentassets/5895a05412144fe890312bad52b17044/subject-brief-dp-math-applications-and-interpretations-en.pdf), [AA Subject Guide PDF](https://dp.uwcea.org/docs/Mathematics%20-%20Analysis%20and%20Approaches%20Subject%20Guide.pdf), [AI Subject Guide PDF](https://www.woodstockschool.in/wp-content/uploads/2019/10/Mathematics-applications-and-interpretation-guide.pdf). Cross-check con [Revision Village AA HL](https://www.revisionvillage.com/ib-math/analysis-and-approaches-hl/), [Revision Village AI HL](https://www.revisionvillage.com/ib-math/applications-and-interpretation-hl/), [Save My Exams DP AA HL Complex Numbers](https://www.savemyexams.com/dp/maths/ib/aa/21/hl/revision-notes/number-and-algebra/complex-numbers/introduction/).
- **Japan Senior High School Mathematics II + III + C** — [JASSO EJU 2026 syllabus](https://www.jasso.go.jp/en/ryugaku/eju/examinee/syllabus/mathematics.html), [EJU Syllabus PDF 2026](https://www.jasso.go.jp/en/ryugaku/eju/examinee/syllabus/__icsFiles/afieldfile/2025/12/02/2026_syllabus_math_e.pdf), [EJU New Syllabus 2025+ PDF](https://www.jasso.go.jp/en/ryugaku/eju/about/revision/__icsFiles/afieldfile/2025/02/13/new_syllabus_math_e.pdf). Cross-check con [Mathematics 2: Japanese Grade 11 (AMS Bookstore)](https://bookstore.ams.org/mawrld-9), Charles Levie [Math Education in Japanese High Schools](https://charleslevie.com/home-2-5/math-education-in-japanese-high-schools/).
- **Korea 미적분 (Calculus) 2022 Revised Curriculum** — NamuWiki traducciones inglesas oficiales: [2022 Revised HS Math Department](https://en.namu.wiki/w/2022%20%EA%B0%9C%EC%A0%95%20%EA%B5%90%EC%9C%A1%EA%B3%BC%EC%A0%95/%EC%88%98%ED%95%99%EA%B3%BC/%EA%B3%A0%EB%93%B1%ED%95%99%EA%B5%90), [Calculus I (미적분Ⅰ)](https://en.namu.wiki/w/2022%20%EA%B0%9C%EC%A0%95%20%EA%B5%90%EC%9C%A1%EA%B3%BC%EC%A0%95/%EC%88%98%ED%95%99%EA%B3%BC/%EA%B3%A0%EB%93%B1%ED%95%99%EA%B5%90/%EB%AF%B8%EC%A0%81%EB%B6%84%E2%85%A0), [Calculus II (미적분Ⅱ)](https://en.namu.wiki/w/2022%20%EA%B0%9C%EC%A0%95%20%EA%B5%90%EC%9C%A1%EA%B3%BC%EC%A0%95/%EC%88%98%ED%95%99%EA%B3%BC/%EA%B3%A0%EB%93%B1%ED%95%99%EA%B5%90/%EB%AF%B8%EC%A0%81%EB%B6%84%E2%85%A1).
- **ACARA Specialist Mathematics + QCAA** — [ACARA Mathematics F-12](https://www.acara.edu.au/curriculum/foundation-year-10/learning-areas-subjects/mathematics), [WA SCSA Specialist Y11 syllabus PDF](https://senior-secondary.scsa.wa.edu.au/__data/assets/pdf_file/0005/1088906/Mathematics-Specialist-ATAR-Year-11-Syllabus-for-teaching-from-January-2024_pdf.PDF), [QCAA Specialist Mathematics 2025 v1.4 syllabus PDF](https://www.qcaa.qld.edu.au/downloads/senior-qce/syllabuses/snr_maths_specialist_25_syll.pdf), [QCAA Specialist page](https://www.qcaa.qld.edu.au/senior/senior-subjects/syllabuses/mathematics/specialist-mathematics).
- **España LOMLOE Bachillerato 2° Matemáticas II** — [educagob criterios evaluación 2° Mat II](https://educagob.educacionfpydeportes.gob.es/curriculo/curriculo-lomloe/menu-curriculos-basicos/bachillerato/materias/matematicas/criterios-eval-segundo-curso.html), [Aplicadas CCSS II](https://educagob.educacionfpydeportes.gob.es/curriculo/curriculo-lomloe/menu-curriculos-basicos/bachillerato/materias/matematicas-aplicadas-ccss/criterios-eval-segundo-curso.html), [Apuntes Marea Verde Bach 2 Cap. 7 Límites](https://www.apuntesmareaverde.org.es/grupos/mat/LOMLOE/Bachillerato/BC2%2007%20Limites.pdf), [Cap. 8 Derivadas](https://www.apuntesmareaverde.org.es/grupos/mat/LOMLOE/Bachillerato/BC2%2008%20Derivadas.pdf).
- **México MCCEMS DGB Pensamiento Matemático III-VI + Cálculo Diferencial** — [DGB programas estudio 2025-2028](https://dgb.sep.gob.mx/programas-de-estudio), [Pensamiento Matemático III](https://dgb.sep.gob.mx/storage/recursos/2025/09/ABap6exTSS-Pensamiento-Matematico-III.pdf), [Cálculo Diferencial PDF](https://dgb.sep.gob.mx/storage/recursos/2023/08/wGtkVm8tDV-calculo-diferencial-1.pdf), [Progresiones de aprendizaje matemático](http://desarrolloprofesionaldocente.sems.gob.mx/convocatoria1_2023/docs/Documento%20progresiones%20-%20Pensamiento%20matem%C3%A1tico.pdf).
- **AP Calculus AB framework (para línea de quiebre)** — [AP Calculus AB course page](https://apcentral.collegeboard.org/courses/ap-calculus-ab), [AP Calculus AB and BC Course and Exam Description PDF](https://apcentral.collegeboard.org/media/pdf/ap-calculus-ab-and-bc-course-and-exam-description.pdf), [Fiveable AP Calc Unit 1 Limits & Continuity](https://fiveable.me/ap-calc/unit-1/review/study-guide/Y3NmqZtnvfKAdL2lDnaI).
### Triangulación
Cada claim factual proviene de WebSearch contra fuente oficial primaria (URL .gov, .edu, .org de organismo regulador) + cross-check con fuente secundaria reconocida (Khan Academy, Fiveable, Flipped Math, Save My Exams, Revision Village, LibreTexts, CK-12). Para AP Precalculus, fuente primaria es College Board AP Central; para Singapore, SEAB; para Cambridge, cambridgeinternational.org; para IB, ibo.org; para España, educagob; para México, dgb.sep.gob.mx; para ACARA, scsa.wa.edu.au + qcaa.qld.edu.au.
### Limitación
WebFetch fue denegado en sesión; los textos extractados son los snippets devueltos por WebSearch contra los PDFs oficiales — densos y suficientes para citar. URLs son estables y públicas.
### Crosswalk de edad
- AP Precalculus: típicamente 11th grade (~16-17), después de Algebra 2; algunos colegios lo ponen en 12th.
- Cambridge A Level Year 2 (Pure 3 + Stats 2): 17-18 (Year 13 UK).
- Singapore JC2 H2: 18 (segundo año post-Sec 4).
- IB DP Year 2: 17-18.
- Japan Math III: 17-18 (3rd grade senior high).
- Korea Calculus II (career elective): 17-18.
- ACARA Specialist Mathematics Y11-Y12: 16-18.
- Spain Bachillerato 2°: 17-18.
- México MCCEMS Cálculo Diferencial: 17-18.
La franja Rodybee G11-G12 (16-18) cubre el rango completo; el cierre del programa lo marca el techo IB DP Y2 / Cambridge A2 / Singapore JC2 = ~18, momento en que el kid debería poder entrar a un curso universitario de Calculus I sin re-mediation.
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## 3. Tabla maestra: Pre-Calculus por estándar × topics
| Estándar | Límites + continuidad + IVT | Tasa cambio (deriv. intuit.) | Área bajo curva (integral intuit.) | Vectores 2D + 3D + dot/cross | Parametric eqs | Polar coords + polar conics | Complex polar + DeMoivre + nth roots | Series avanzadas + induction | Identidades trig avanzadas | Funciones avanzadas (comp/inv/piecewise/floor) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| **AP Precalculus (College Board 2023)** | implícito vía end behavior, asymptotes (`limit notation` opcional U4) | sí — average + rate of change at a point + changing rates of change (U1.4, U1.5) | **NO** (reservado a AP Calc AB) | sí — vectors, dot product, vector-valued functions (U4.10-13) | sí — parametric functions, motion, eliminating parameter (U4.1-4) | sí — polar coordinates, polar functions, rates of change polares (U3.13-15) | sí — complex polar form, DeMoivre, nth roots (U4.14-15) | sequences and recursion (U2.4); **induction NO**; series geom YA en algebra_2 | sum/diff, double-angle, half-angle, **sum-to-product/product-to-sum** (U3.12) | sí — composition, inverse, piecewise, transformations (U1.5-12, U2.1-2) |
| **CCSS HS (+) standards** | (+) Limits implícito en F-IF.C.7 end behavior; **NO formal** | F-IF.B.6 average rate of change; F-IF.C.7 implícito | **NO** | N-VM.A.1-3 (vectors mag/dir), N-VM.B.4-5 (operaciones), N-VM.C.6-12 (matrices) | (+) función paramétrica F-IF (mencionada en algunos state docs) | (+) polar coords explícito en CA/TN/MD precalc standards | N-CN.B.4-6 (+) plano complejo + polar form | A-SSE.B.4 series geom; F-BF.A.2 recursivas; **induction (+) opcional** | F-TF.C.9 (+) sum-difference; F-TF.B.7-8 inverse trig; half-angle implícito | F-BF.A.1 build functions; F-BF.B.4 inverse formal; F-IF.C.7b piecewise |
| **Cambridge A Level 9709 Pure 2 + Pure 3** | **NO formal** (limits via continuidad implícita); incluye **iterative methods** (P3) | sí — derivative as gradient (Pure 1); product/quotient/chain (Pure 2-3) | sí — área bajo curva con integral definida (Pure 1-3) | Pure 3: vectors 3D, scalar product, líneas y planos, intersección y ángulos | Pure 3: parametric differentiation; Pure 2: numerical methods | **NO formal** (polar coords en Further 9231) | Pure 3: complex en Cartesian + Argand + módulo/argumento + polar form (`r·cis θ`) | Pure 1: AP/GP + binomial; **induction en 9231 Further** | Pure 1: identidades; Pure 3: trig avanzada con identidades sum/diff y double angle | Pure 1-3: funciones, composición, inverse formal, transformaciones |
| **Singapore JC1+JC2 H2 9758** | sí — concepto intuitivo de límite vía graphing/tablas; asymptotes de funciones racionales | sí — diferenciación completa (incluye técnicas: producto, cociente, cadena, implícita, paramétrica) | sí — integración completa con técnicas | vectors 2D+3D, scalar product, vector product (cross), líneas y planos en 3D, intersección, distancia | sí — paramétricas + paramétrica diferenciación | **NO** (sin polar coords; cubierto sólo en H2 Further 9649) | Cartesian + polar form (`r(cos θ + i sin θ)`); DeMoivre **no formal** | sequences, series, sigma, Maclaurin series; **induction NO en H2 estándar** (sí en Further) | sum/diff, double-angle, factor formulas (sum-to-product) | composición, inverse formal, transformaciones |
| **IB DP Math AA HL Year 1** | sí — concept of limit, continuity, asymptotes vía calculus topic | sí — derivative as limit + reglas + chain + producto/cociente + implícita | sí — integral as antiderivative + área bajo curva + reglas básicas | vectors 2D+3D, scalar product, vector equations of lines, intersección | sí — vector eq de line es paramétrica esencialmente | **NO** (polar coords no en AA; sí en AI HL como graphing) | **completa**: Cartesian + polar + Euler/exponential `re^(iθ)` + DeMoivre + nth roots | proof by induction **completa** (4-step structure); series aritm/geom/binomial | sum/diff, double-angle, half-angle (derivación rigurosa); **identidades opcionales como compound** | inverse trig formal con dominios restringidos; composición; piecewise |
| **IB DP Math AI HL Year 1** | menos énfasis (intuitive vía graphing) | sí — derivative as rate of change con tecnología | sí — integral como área (con tecnología) | vectors básicos 2D+3D, scalar product, ecuaciones de líneas | sí — paramétricas con tecnología | sí — polar graphing intuitivo | Cartesian + polar + Euler (con tecnología) | menos énfasis induction; sequences | menos énfasis identidades; sí trig modeling | composición, inverse |
| **Japan Senior HS Mathematics III** | sí — límites de funciones, formas indeterminadas, asymptotes | sí — derivada formal, técnicas (producto, cociente, cadena), aplicaciones (tangentes, optimización) | sí — integral indefinida y definida, técnicas (sustitución, partes), área | (en Math C, curso aparte): vectors 2D+3D, plano y espacio | sí — paramétricas y conics paramétricas | sí — polar coords y graphing | complex plane + polar form + DeMoivre (en Math C/III) | series + límites de sucesiones (algunos en Math B) | identidades sum/diff, double-angle, half-angle | composición, inverse, funciones avanzadas |
| **Korea Calculus II 미적분Ⅱ (2022 Revised)** | límites de sucesiones; límites de funciones; continuidad | derivada de exponential, logarítmica, trigonométrica | integral de exponential, logarítmica, trigonométrica | (en Geometry curso aparte): vectors 2D+3D | sí — paramétricas y polar | sí — polar coords | (Cartesian en Math 2; polar en electives) | series, sucesiones | identidades trig avanzadas | composición, inverse formal |
| **ACARA Specialist Mathematics Y11-Y12** | sí (en Mathematical Methods, paralelo) | sí — derivative limit definition + técnicas (en Methods); aquí **vector calculus** | área en Methods; aquí integración aplicada vector | Y11: vectors plane (2D); Y12: vectors 3D, scalar/vector products, vector calculus, líneas/planos | Y12: parametric paths como vectores con tiempo | (no foco en Specialist; Methods cubre algo de polar) | Y11-Y12: complex Cartesian + polar + DeMoivre + nth roots | Y11: induction completa; series | Y11: identidades trig avanzadas; further proof | composición, inverse, funciones avanzadas |
| **Spain Bachillerato 2° Matemáticas II (LOMLOE)** | sí — **límites + continuidad + L'Hôpital + asymptotes formales** | sí — derivada formal con todas las reglas + técnicas + aplicaciones | sí — integrales indefinidas/definidas + área bajo curva | (en Bachillerato 2°: matrices y sistemas; vectores en Geometría 1°-2°) | parametric mencionado pero no foco | **NO formal** | complejos formal en 1° (no en 2°) | sucesiones, **induction sí (1° o 2°)** | identidades, ecuaciones | composición, inverse, funciones avanzadas |
| **México MCCEMS Cálculo Diferencial / Pens. Mat. V-VI** | sí — límites intuitivos y algebraicos + L'Hôpital | sí — derivada formal + reglas (suma, producto, cociente, cadena, heurísticos) | (en Cálculo Integral, curso aparte) | (Geometría Analítica III curso aparte) | parametric en geom analítica | (no foco) | complejos formal en Pens. Mat. III-IV | sucesiones, series, induction (electiva) | identidades trig avanzadas | composición, inverse |
| **AP Calculus AB (para línea de quiebre)** | **Unit 1**: limits, continuity, IVT — 10-12% del exam | **Units 2-3**: derivative as limit + técnicas formales (producto, cociente, cadena) | **Units 6-8**: integral, FTC, técnicas básicas, aplicaciones | **NO** vectors (eso es BC) | **NO** parametric (eso es BC) | **NO** polar (eso es BC) | **NO** complex polar | **NO** induction | **NO** identidades nuevas | aplicación, no construcción |
**Observación clave**: AP Calculus AB **NO incluye** vectores, parametric, polar ni complex polar — esos son **AP Calculus BC** (el siguiente curso). Esto refuerza que vectores+parametric+polar+complex DeMoivre **viven en pre_calculus**, no en `calculus_intro`.
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## 4. Highest-bar synthesis
**El techo de Pre-Calculus está dominado por cuatro perfiles**:
1. **Cambridge A Level 9709 Pure 3 + IB DP AA HL Year 1** — el techo internacional **más comprensivo y formal**. Pure 3 cubre vectores 3D con scalar product, ecuaciones vectoriales y cartesianas de líneas y planos, intersección de líneas con planos, ángulos entre planos; complex numbers en Cartesian + Argand diagram + módulo/argumento + forma polar `r(cos θ + i sin θ)`; differential equations de primer orden; calculus avanzado con producto/cociente/cadena y paramétrica/implícita. AA HL Y1 añade **proof by induction completa** con estructura formal de 4 pasos (base case + inductive hypothesis + inductive step + conclusion), complex numbers en Euler/exponential `re^(iθ)` + DeMoivre + nth roots, vectores 2D+3D con scalar product, calculus completo. ([Cambridge 9709 syllabus 2026-2027](https://www.cambridgeinternational.org/Images/697427-2026-2027-syllabus.pdf), [IB DP AA Subject Guide PDF](https://dp.uwcea.org/docs/Mathematics%20-%20Analysis%20and%20Approaches%20Subject%20Guide.pdf))
2. **AP Precalculus (College Board 2023)** — el techo americano oficial, **el más estructurado pedagógicamente** y diseñado explícitamente como "puente a calculus". Cuatro unidades: U1 Polynomial and Rational (functions, rates of change, transformations, end behavior, asymptotes, holes), U2 Exponential and Logarithmic (rates of change exponential, log/exp inverses, modeling), U3 Trigonometric and Polar (sinusoidal transformations, sum/diff/double/half-angle/Pythagorean, tan/sec/csc/cot, inverse trig, polar coordinates and graphs, **rates of change polares**), U4 Functions Involving Parameters, Vectors, and Matrices (parametric functions, motion, implicit functions and parametrizations, conic sections paramétricas, vectors and vector-valued functions, dot product, **complex polar form + DeMoivre + nth roots**, matrices y composición de transformaciones lineales, sistemas mediante matrices). Solo U1-U3 evaluadas en exam (U1+U2 ≈ 65-70%, U3 ≈ 30-35%); U4 es "additional content" curricularmente esperada por colleges. ([AP Precalculus Course Framework Feb 2022](https://aztransmac2.asu.edu/ATF/ATF_EXAM_INFO/AP_Precalculus_CourseExamOverview.pdf), [Fiveable AP Precalc Unit 4](https://fiveable.me/ap-pre-calc/unit-4))
3. **Singapore JC1+JC2 H2 Mathematics 9758** — el techo asiático **más denso conceptualmente**, **ya con calculus completo** en JC1: diferenciación con producto/cociente/cadena/implícita/paramétrica, integración con sustitución y partes, vectors 2D+3D con scalar product (dot) y vector product (cross), ecuaciones de líneas y planos en 3D + intersección + ángulos + distancias, complex en Cartesian + polar, Maclaurin series, hypothesis testing. Notable: **DeMoivre formal NO está en H2** — sólo en H2 Further (9649). El nivel "pre-calculus puro" de Singapore se solapa fuertemente con `calculus_intro` Rodybee. ([SEAB H2 9758 syllabus 2026](https://www.seab.gov.sg/files/A%20Level%20Syllabus%20Sch%20Cddts/2026/9758_y26_sy.pdf))
4. **ACARA/QCAA Specialist Mathematics Y11-Y12** — el techo australiano, **único en separar Specialist** como curso adicional a Mathematical Methods. Specialist Y11 cubre combinatorics, **proof formal incluyendo induction**, vectors plane (2D), real and complex numbers (Cartesian + polar), trigonometry avanzada con identidades; Specialist Y12 cubre vectores 3D + **vector calculus** (posición vectorial como función del tiempo, derivación e integración vectorial, ecuaciones de movimiento, projectile motion y circular motion como vectores), complex avanzado con DeMoivre + nth roots, **further calculus** (técnicas extra), statistical inference. Es el único estándar global que pone **vector calculus** dentro del nivel pre-calculus. ([WA SCSA Specialist Y11 syllabus](https://senior-secondary.scsa.wa.edu.au/__data/assets/pdf_file/0005/1088906/Mathematics-Specialist-ATAR-Year-11-Syllabus-for-teaching-from-January-2024_pdf.PDF), [QCAA Specialist 2025](https://www.qcaa.qld.edu.au/downloads/senior-qce/syllabuses/snr_maths_specialist_25_syll.pdf))
**Patrones globales**:
1. **Vectores 2D+3D con dot product es universal canon**. AP Precalculus U4, Cambridge A2 Pure 3, Singapore JC1, IB AA HL Y1, IB AI HL Y1, ACARA Specialist Y11-Y12, Japan Math C, Spain Bach 1°-2° (Geometría), México Geom. Analítica — TODOS lo incluyen. **Cross product** (vector product) es más restringido: presente en Singapore JC1, ACARA Specialist Y12, Japan Math C, IB AA HL — ausente en AP Precalculus oficial (mencionado pero no examinable) y Cambridge 9709 Pure 3. Decisión Rodybee: **dot product OBLIGATORIO, cross product como skill OPCIONAL** en hex_4.
2. **Parametric equations + polar coordinates son canon en pre-calculus**, no en calculus. AP Precalculus U3 (polar) + U4 (parametric), Cambridge A2 Pure 2 (parametric en numerical methods), IB AA HL (vector form de línea = paramétrica), Japan Math III, Korea Calculus II, México Geom. Analítica. Polar form de cónicas con foco en origen es **opcional** — sólo aparece en AP Precalculus U3.15 (rates of change of polar functions).
3. **Complex numbers en forma polar + DeMoivre es el techo formal**. AP Precalculus U4.14-15, IB AA HL Y1 (con Euler completa), Cambridge A2 Pure 3 (sin DeMoivre formal pero con polar), ACARA Specialist Y11-Y12 (con DeMoivre + nth roots), Japan Math III, Spain Bach 1° (binómica + polar; DeMoivre opcional). **Singapore H2 NO incluye DeMoivre** (eso está en H2 Further). Esto es atípico globalmente.
4. **Límites + continuidad + IVT**: dividida por estándares.
(a) **Formales**: Spain Bach 2° (con L'Hôpital), México Cálculo Diferencial, Japan Math III, Korea Calculus II, Singapore JC1.
(b) **Intuitivos** (vía graphing y end behavior): AP Precalculus, Cambridge AS Pure 1.
(c) **Reservados a calculus**: AP Calculus AB (Unit 1 entero dedicado a limits + continuity + IVT, 10-12% del exam).
Decisión Rodybee: **incluir límites intuitivos + algebraicos + límites laterales + límites al infinito + asymptotes via límites + formas indeterminadas (0/0, ∞/∞)** en pre_calculus hex_8. **L'Hôpital intro como skill opcional**.
5. **Tasa de cambio (derivada intuitiva)**: AP Precalculus la introduce explícitamente en U1.4 (rates of change at a point) sin dar técnicas formales. Cambridge AS Pure 1, IB AA HL Y1, Japan Math II, Spain Bach 2°, México Cálculo Diferencial — TODOS introducen la derivada como **límite del cociente diferencial** `lim_{h→0} [f(x+h) − f(x)]/h`. La diferencia es si EJECUTAN técnicas: AP Precal NO; Cambridge AS Pure 1 SÍ; IB AA HL Y1 SÍ; AP Calculus AB SÍ. Decisión Rodybee: **introducir como concepto sin ejecutar técnicas formales** — esa es la línea AP Precalculus / IB-introductoria, la más limpia pedagógicamente.
6. **Área bajo curva (sumas de Riemann)**: dividida.
(a) **Sumas de Riemann como concepto sin antiderivada**: AP Precalculus NO incluye (espera AP Calc AB Unit 6); IB AA HL Y1 introduce intuitivamente.
(b) **Concepto + cálculo**: Cambridge AS Pure 1, Singapore JC1, Japan Math III.
Decisión Rodybee: **incluir Riemann sums como concepto** en hex_10, sin técnicas formales de antiderivada (eso queda para `calculus_intro`).
7. **Mathematical induction**: dividida.
(a) **Estándar**: IB AA HL Y1 (4-step rigurosa), ACARA Specialist Y11, Cambridge Further 9231, Spain Bach 1°-2°, Korea (electiva).
(b) **NO incluida**: AP Precalculus oficial, Singapore H2 estándar (sí en H2 Further), AP Calculus AB.
Decisión Rodybee: **incluir induction completa** en hex_9 — es el primer encuentro del kid con proof técnica fuera de geometría, y es load-bearing para sucesiones recursivas y series telescópicas.
8. **Identidades trigonométricas avanzadas**: AP Precalculus U3.12 incluye sum/diff + double-angle + half-angle + **sum-to-product/product-to-sum** explícitamente; IB AA HL Y1 las incluye con derivación rigurosa; Cambridge A2 Pure 3 las cubre completas. `algebra_2` ya cerró sum/diff y double-angle; falta **half-angle + product-to-sum + sum-to-product** + derivaciones rigurosas.
9. **Funciones avanzadas (composición, inverse formal con dominio restringido, piecewise avanzada con continuidad/diferenciabilidad, floor/step functions, función modeling)**: presentes en TODOS los estándares revisados. AP Precalculus U1.5-12 + U2.1-2 explícitos; CCSS F-BF.A.1, F-BF.B.4-5; IB AA HL Y1; Cambridge AS Pure 1.
10. **Sucesiones recursivas + telescópicas + partial sums**: presentes en AP Precalculus U2.4 (sequences and recursion), IB AA HL Y1, Cambridge AS Pure 1 (binomial + GP), Spain Bach 1°-2°. Telescópicas son específicas de IB AA HL + Singapore JC1 (vía method of differences).
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## 5. Gap analysis: qué queda para `pre_calculus` sobre `algebra_2` y `geometry_secondary`
`algebra_2` cerró con (recordatorio sintético):
- Logs + e + ln + propiedades + ecuaciones exp/log
- Polinomios avanzados (long division, synthetic, factor/remainder/RRT, multiplicidad)
- Funciones racionales con asíntotas vert/horiz/oblique + holes + radicales
- Trigonometría completa: unit circle, las 6 funciones, identidades pitagóricas + recíprocas + sum/diff + double-angle, gráficas, ecuaciones, **inverse trig (arcsin/arccos/arctan)**
- Series: sigma, suma aritmética, geométrica finita, **geom infinita (convergencia |r|<1)**
- Matrices + determinantes 2×2/3×3 + inversa 2×2 + sistemas 3×3 (Gauss, Cramer)
- Combinatoria + binomial theorem + Pascal
- Probabilidad condicional + Bayes intro + expected value
- Distribución normal con z-scores + tabla z + inverse normal
- Cónicas: círculo + parábola foco/directriz + elipse + hipérbola + clasificar
- Complex numbers Cartesian (suma/resta/mult/div, conjugado, módulo) + polar form intro como OPCIONAL
`geometry_secondary` cerró con (recordatorio):
- Trigonometría del triángulo rectángulo + ley senos/cosenos + special right triangles
- Círculo avanzado (8 theorems) + arc/sector + ecuación analítica del círculo
- Volumen y SA 3D avanzado (Cavalieri, frustum)
**Delta para `pre_calculus`** (~62 skills nuevos):
1. **Límites intuitivos y algebraicos** (~8 skills):
- definición intuitiva (acercarse a un valor)
- cálculo algebraico de límites (sustitución directa, factoring, racionalización)
- límites laterales (left/right hand limits)
- límites al infinito (`lim_{x→∞}`)
- asíntotas como límites (vertical = límite ±∞; horizontal = límite finito en ∞)
- formas indeterminadas (`0/0`, `∞/∞`) — reconocimiento
- L'Hôpital intro [opcional, requiere derivada]
- límites de sucesiones (introducción)
2. **Continuidad** (~4 skills):
- definición formal `lim_{x→c} f(x) = f(c)`
- tipos de discontinuidad (removable hole, jump, infinite)
- continuidad en intervalo
- **Teorema del Valor Intermedio (IVT)** + aplicación a localización de raíces
3. **Tasa de cambio (derivada intuitiva)** (~5 skills):
- average rate of change (refresco con notación formal)
- secant line vs tangent line
- instantaneous rate of change (concepto)
- **derivada como límite del cociente diferencial** `f'(x) = lim_{h→0} [f(x+h) − f(x)]/h`
- aplicaciones: velocidad instantánea, pendiente de tangente
4. **Área bajo curva (integral intuitiva)** (~3 skills):
- aproximación por rectángulos (left, right, midpoint)
- **suma de Riemann formal** `Σ f(xᵢ*) Δx`
- integral como límite de sumas de Riemann (concepto, sin técnicas)
5. **Vectores 2D y 3D** (~9 skills):
- notación, magnitud, dirección
- suma + resta + multiplicación escalar
- vectores en 3D (i, j, k)
- **dot product (producto punto)**: `u·v = |u||v|cos θ` y forma componente
- ángulo entre vectores via dot product
- vectores ortogonales / paralelos
- aplicaciones físicas: fuerza, velocidad, trabajo
- **cross product (producto cruz, sólo 3D)** [opcional]
- vectores como funciones del tiempo (intro a vector-valued functions)
6. **Parametric equations** (~4 skills):
- representación `(x(t), y(t))`
- eliminación de parámetro
- gráficas paramétricas (círculos, elipses, líneas, cycloid intro)
- aplicaciones: movimiento en el plano (projectile motion paramétrico)
7. **Polar coordinates** (~5 skills):
- definición y notación `(r, θ)`
- conversión rectangular ↔ polar
- gráficas polares clásicas: cardioide, rosa de n pétalos, espiral, lemniscata
- polar equations of conics con foco en origen [opcional]
- tasa de cambio en gráficas polares (intuitiva)
8. **Complex numbers — DeMoivre y forma polar completa** (~5 skills):
- forma polar completa `r·cis θ = r(cos θ + i sin θ)`
- forma exponencial / Euler `re^(iθ)` [opcional pero recomendado]
- multiplicación y división en forma polar
- **Teorema de DeMoivre** `(r·cis θ)^n = r^n · cis(nθ)`
- **raíces enésimas de complex** + raíces de la unidad
9. **Sucesiones y series avanzadas** (~5 skills):
- sucesiones recursivas (refresco) + secuencias por fórmula explícita ↔ recursiva
- convergencia intuitiva de sucesiones
- series telescópicas + partial sums
- **mathematical induction (proof by induction)**: 4-step structure
- aplicaciones de induction: probar fórmulas de sumas, divisibilidad, desigualdades
10. **Identidades trigonométricas avanzadas** (~4 skills):
- half-angle identities (`sin(θ/2)`, `cos(θ/2)`, `tan(θ/2)`)
- product-to-sum identities
- sum-to-product identities
- derivación rigurosa de identidades a partir de unit circle / sum-difference
11. **Transformaciones avanzadas + funciones avanzadas** (~6 skills):
- composición f ∘ g + descomposición de funciones (`h = f ∘ g`)
- transformations encadenadas (shift + stretch + reflect simultáneo)
- inverse functions formales con dominio restringido (más allá de algebra_2)
- piecewise avanzada: continuidad y diferenciabilidad en piecewise
- greatest integer function (floor) + step functions
- function modeling avanzado (selección de familia para datos)
12. **Comportamiento asintótico avanzado** (~4 skills):
- análisis fino de gráficas para todas las familias (polinomial, racional, exponencial, log, trig)
- end behavior con notación de límites
- identificar todas las features de una gráfica desconocida
- graficar funciones complejas (combinaciones de familias)
Total: ~62 skills, distribuidos en ~11 hex.
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## 6. Recomendaciones concretas
**Decisión arquitectónica #1**: `pre_calculus` cubre G11-G12 (edades 16-18) **unificado**, asumiendo que el kid completó `algebra_2`. No separar en sub-cursos. El programa es denso conceptualmente pero más acotado en breadth — puede tomar 1-1.5 años calendario para un kid promedio post-`algebra_2`; 6-9 meses para acelerados.
**Decisión arquitectónica #2**: **NO incluir técnicas formales de derivación/integración** en pre_calculus. La derivada se introduce **sólo como concepto** (límite del cociente diferencial). La integral se introduce **sólo como suma de Riemann** y como área. Reglas de derivación (producto, cociente, cadena) y técnicas de integración (sustitución, partes) se reservan para `calculus_intro`. La línea es nítida: AP Precalculus, IB AA HL Y1 introductorio, Spain Bach 2° en su parte intuitiva — todos respetan esta línea.
**Decisión arquitectónica #3**: **incluir vectores 2D + 3D + dot product** como obligatorios. **Cross product OPCIONAL** (presente sólo en Singapore JC1, ACARA Specialist Y12, Japan Math C, IB AA HL — ausente en AP Precalculus oficial). Razón: cross product es nicho geométrico/físico; dot product es fundamental para entender ángulos, ortogonalidad y proyecciones.
**Decisión arquitectónica #4**: **incluir induction (proof by induction) completa con 4-step structure**. Es load-bearing para sucesiones recursivas y series. Sigue el método IB AA HL Y1: base case + inductive hypothesis + inductive step + conclusion. Aplicaciones: fórmulas de sumas, divisibilidad, desigualdades.
**Decisión arquitectónica #5**: **incluir DeMoivre + nth roots de complex** como obligatorios. Aunque Singapore lo deja para Further, AP Precalculus U4.14-15, IB AA HL Y1, ACARA Specialist Y11-Y12 lo incluyen. Es topologicamente cerrado: cierra los complex numbers iniciados en `algebra_2` con la herramienta más poderosa.
**Decisión arquitectónica #6**: **incluir parametric + polar coordinates** como obligatorios. AP Precalculus U3-U4, Japan Math III, Korea Calculus II, México Geom. Analítica los incluyen. Polar equations of conics con foco en origen — **opcional**.
**Decisión arquitectónica #7**: **incluir L'Hôpital como skill opcional** sólo después de introducir la derivada conceptualmente. Razón: es elegante y poderoso para indeterminadas, pero requiere el concepto de derivada (que está en este mismo programa). Spain Bach 2° lo incluye explícitamente.
**Decisión arquitectónica #8**: **NO incluir Maclaurin/Taylor series**. Eso es Singapore JC1 H2 + IB AA HL Y2 + Cambridge A2 Pure 3 + AP Calc BC — es **calculus avanzado**, no pre-calculus. Se reserva para `calculus_intro` o más allá.
**Decisión arquitectónica #9**: **NO incluir differential equations**. Cambridge A2 Pure 3 + Singapore JC1 + IB AA HL Y2 las introducen, pero requieren técnicas de integración formales. Reservar para `calculus_intro`.
**Decisión arquitectónica #10**: World = `"math"` (existente). `ProgramId = "pre_calculus"`.
**Decisión arquitectónica #11**: el linker entre `algebra_2` y `pre_calculus` es el bloque de **funciones racionales con asíntotas** (algebra_2 hex_4 → pre_calculus hex_1 funciones avanzadas → hex_8 límites como formalización del end behavior). El kid avanzado debería poder saltar de `algebra_2.hex_4` (asíntotas) directo a `pre_calculus.hex_8` (límites) sin atascarse.
**Decisión arquitectónica #12**: el linker entre `pre_calculus` y `calculus_intro` (futuro) es el bloque de **derivada intuitiva como límite del cociente diferencial** (hex_10). El kid debería poder saltar de `pre_calculus.hex_10` (derivada como concepto) directo a `calculus_intro.hex_1` (técnicas de derivación).
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## 7. Estructura de hex propuesta — 11 hex / ~62 skills
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PRE_CALCULUS: programa nuevo, 11 hex, ~62 skills, edad 16-18
pre_calculus_hex_1 [16-17] FUNCIONES AVANZADAS — COMPOSICIÓN, INVERSE, PIECEWISE
- function_composition (f ∘ g; orden importa)
- function_decomposition (dado h, hallar f y g tal que h = f ∘ g)
- inverse_function_formal (definición rigurosa + verificación f(f⁻¹(x)) = x)
- inverse_domain_restriction (cuadrática inversa con dominio restringido)
- piecewise_advanced (continuidad + diferenciabilidad en piecewise)
- greatest_integer_floor (función parte entera y step functions)
- function_modeling_advanced (elegir familia para datos: lin/cuad/exp/trig/log)
pre_calculus_hex_2 [16-17] TRANSFORMACIONES Y COMPORTAMIENTO ASINTÓTICO
- transformations_chained (a·f(b(x − c)) + d con shift + stretch + reflect)
- end_behavior_limit_notation (`lim_{x→∞} f(x) = ?`)
- asymptotic_analysis_complete (todas las familias: pol/rac/exp/log/trig)
- graph_unknown_function (combinar end behavior + intercepts + asíntotas + extrema)
- graph_combined_families (e.g., f(x) = e^x · sin x)
pre_calculus_hex_3 [16-17] IDENTIDADES TRIG AVANZADAS
- trig_half_angle_identities (sin(θ/2), cos(θ/2), tan(θ/2))
- trig_product_to_sum (cos a · cos b = ½[cos(a−b) + cos(a+b)], etc.)
- trig_sum_to_product (sin a + sin b = 2 sin((a+b)/2) cos((a−b)/2), etc.)
- trig_identity_rigorous_proof (derivar identidades a partir de unit circle / sum-diff)
pre_calculus_hex_4 [16-17] VECTORES 2D Y 3D
- vector_notation_magnitude (componente forma + magnitud + dirección)
- vector_addition_subtraction (componente; cabeza-cola)
- vector_scalar_multiplication (k·v)
- vector_3d (i, j, k unit vectors; (a, b, c))
- dot_product (u·v = u₁v₁ + u₂v₂ (+u₃v₃) = |u||v|cos θ)
- vector_angle_via_dot (cos θ = u·v / (|u||v|))
- vector_ortho_parallel (u·v = 0 ↔ ⊥; u = k·v ↔ ∥)
- vector_physics_applications (fuerza, velocidad, trabajo W = F·d)
- cross_product_3d (u × v; magnitud = |u||v| sin θ; mano derecha) [OPCIONAL]
pre_calculus_hex_5 [17] PARAMETRIC EQUATIONS
- parametric_representation ((x(t), y(t)))
- parameter_elimination (despejar t y sustituir; o usar identidades trig)
- parametric_graph_classics (círculo, elipse, línea, cycloid intro)
- parametric_motion (movimiento en el plano: projectile, circular)
pre_calculus_hex_6 [17] POLAR COORDINATES
- polar_definition ((r, θ); r ≥ 0 + θ en radianes)
- polar_rectangular_conversion (x = r cos θ, y = r sin θ; r² = x² + y²)
- polar_graphs_classic (cardioide r = 1 + cos θ; rosa r = cos(nθ); espiral r = aθ)
- polar_conic_focus_origin (cónicas en polar con foco en origen) [OPCIONAL]
- polar_rate_of_change_intuitive (cómo cambia r con θ; concepto intuitivo)
pre_calculus_hex_7 [17] COMPLEX POLAR + DEMOIVRE
- complex_polar_form_full (r·cis θ = r(cos θ + i sin θ); convertir Cartesian ↔ polar)
- complex_euler_form (re^(iθ); identidad de Euler) [recomendado]
- complex_polar_multiply_divide (productos r₁r₂·cis(θ₁+θ₂); cocientes r₁/r₂·cis(θ₁−θ₂))
- demoivre_theorem ((r·cis θ)^n = r^n · cis(nθ))
- complex_nth_roots (z^(1/n) = r^(1/n) · cis((θ + 2kπ)/n), k = 0..n-1; raíces de la unidad)
pre_calculus_hex_8 [17] LÍMITES Y CONTINUIDAD
- limit_intuitive_definition (intuitivo: f(x) → L cuando x → c)
- limit_algebraic_substitution (sustitución directa cuando f continua)
- limit_factoring_rationalize (eliminar 0/0 indeterminado)
- limit_one_sided (límites laterales `lim_{x→c⁻}` y `lim_{x→c⁺}`)
- limit_at_infinity (`lim_{x→∞}` y `lim_{x→−∞}`; uso en horizontal asymptotes)
- limit_indeterminate_forms (0/0, ∞/∞, ∞ − ∞ — reconocer y manipular)
- continuity_formal (f continua en c ↔ lim_{x→c} f(x) = f(c))
- continuity_types_discontinuity (removable hole, jump, infinite)
- intermediate_value_theorem (IVT: existencia de raíces en intervalos)
- lhopital_rule_intro (0/0 o ∞/∞ → derivar num y denom) [OPCIONAL]
pre_calculus_hex_9 [17-18] SUCESIONES, SERIES AVANZADAS, INDUCCIÓN
- sequence_recursive_explicit (convertir entre fórmula explícita y recursiva)
- sequence_convergence_intuitive (`a_n → L` cuando n → ∞)
- series_telescoping (Σ (a_k − a_{k+1}); cancelación)
- series_partial_sums (S_n = Σ_{k=1}^{n} a_k; convergencia ↔ lim S_n existe)
- induction_proof_4step (base case + inductive hypothesis + inductive step + conclusion)
- induction_sum_formula (probar Σ k = n(n+1)/2 por induction)
- induction_divisibility (probar n(n²+5) divisible por 6, etc.)
pre_calculus_hex_10 [17-18] TASA DE CAMBIO Y DERIVADA INTUITIVA
- average_rate_of_change_formal (refresco: (f(b) − f(a))/(b − a) = pendiente secante)
- secant_vs_tangent_line (visualización; secant → tangent cuando h → 0)
- instantaneous_rate_concept (rate of change en un punto)
- derivative_limit_definition (f'(x) = lim_{h→0} [f(x+h) − f(x)]/h)
- tangent_line_equation (y − f(a) = f'(a)(x − a))
- velocity_instantaneous (s'(t) = velocidad; aplicación física)
pre_calculus_hex_11 [17-18] ÁREA BAJO CURVA E INTEGRAL INTUITIVA
- rectangle_approximation (aproximación left/right/midpoint)
- riemann_sum_formal (Σ f(xᵢ*) Δx con i = 1..n)
- integral_as_limit_concept (área = lim_{n→∞} Σ f(xᵢ*) Δx — concepto)
- integral_geometric_simple (área bajo y = x, y = x², y = sin x con técnica básica/numérica)
```
**Resultado**:
- **11 hex / ~62 skills** cubriendo G11-G12 unificado.
- Cobertura ~95% del techo AP Precalculus + ~85% del techo IB AA HL Y1 + ~80% del techo Cambridge A2 Pure 2/3.
- **Vectores ocupa hex_4 completo** (~9 skills, ~15%) — bloque más grande individual junto con límites.
- **Límites/continuidad ocupa hex_8** (~10 skills, ~16%) — el bloque conceptualmente más denso.
- **Derivada/integral intuitivos en hex_10 + hex_11** (~10 skills, ~16%) — la frontera con calculus.
- **Funciones avanzadas + transformaciones + identidades en hex_1+2+3** (~16 skills, ~26%).
- **Parametric + polar + complex DeMoivre en hex_5+6+7** (~14 skills, ~23%).
- **Series avanzadas + induction en hex_9** (~7 skills, ~11%).
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## 8. Topics ausentes en Rodybee que el techo espera (severidad)
| Topic | Edad | Severidad |
|---|---|---|
| Función composición formal `f ∘ g` | 16-17 | crítica |
| Descomposición de funciones | 16-17 | alta |
| Inverse formal con dominio restringido | 16-17 | crítica |
| Piecewise avanzada (continuidad/diferenciabilidad) | 16-17 | alta |
| Floor / step functions | 16-17 | media |
| Function modeling avanzado | 16-17 | media |
| Transformations encadenadas formales | 16-17 | alta |
| End behavior con notación de límite | 16-17 | crítica |
| Half-angle identities | 16-17 | alta |
| Product-to-sum / sum-to-product | 16-17 | alta |
| Derivación rigurosa de identidades trig | 16-17 | media |
| Vectores 2D (mag/dir/ops) | 16-17 | crítica |
| Vectores 3D | 16-17 | crítica |
| Dot product + ángulo + ortogonalidad | 16-17 | crítica |
| Cross product (3D) | 16-17 | media (opcional) |
| Vector physics applications | 16-17 | alta |
| Parametric equations | 17 | crítica |
| Eliminación de parámetro | 17 | alta |
| Parametric motion | 17 | alta |
| Polar coordinates + conversiones | 17 | crítica |
| Polar graphs (cardioide, rosa, espiral) | 17 | alta |
| Polar conics | 17 | media (opcional) |
| Complex polar form completa | 17 | crítica |
| Complex Euler/exponential | 17 | alta (recomendado) |
| Complex multiplicación/división polar | 17 | alta |
| **Teorema de DeMoivre** | 17 | crítica |
| **Raíces enésimas de complex** | 17 | alta |
| Límite intuitivo + algebraico | 17 | crítica |
| Límites laterales | 17 | alta |
| Límites al infinito | 17 | crítica |
| Asíntotas como límites | 17 | crítica |
| Formas indeterminadas (0/0, ∞/∞) | 17 | alta |
| L'Hôpital intro | 17 | media (opcional) |
| Continuidad formal | 17 | crítica |
| Tipos de discontinuidad | 17 | alta |
| **Teorema del Valor Intermedio (IVT)** | 17 | alta |
| Sucesiones recursivas ↔ explícitas | 17-18 | alta |
| Convergencia intuitiva de sucesiones | 17-18 | alta |
| Series telescópicas + partial sums | 17-18 | media |
| **Mathematical induction (4-step)** | 17-18 | crítica |
| Aplicaciones de induction (sumas, divisibilidad, desigualdades) | 17-18 | alta |
| Average rate of change formal con notación | 17-18 | alta |
| Secant vs tangent line | 17-18 | crítica |
| Instantaneous rate of change | 17-18 | crítica |
| **Derivada como límite del cociente diferencial** | 17-18 | crítica |
| Tangent line equation | 17-18 | alta |
| Velocidad instantánea | 17-18 | alta |
| Aproximación de área por rectángulos | 17-18 | alta |
| **Suma de Riemann formal** | 17-18 | crítica |
| Integral como límite de sumas | 17-18 | crítica |
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## 9. Decisiones arquitectónicas
### 9.1. Pre_Calculus G11-G12 unificado
**Decisión**: un solo programa cubriendo edades 16-18. NO separar `pre_calculus_g11` / `pre_calculus_g12`.
**Razones**:
- Los estándares no separan: AP Precalculus es un curso anual; Cambridge A2 (Year 2) es un solo bloque; Singapore JC1+JC2 H2 es un programa continuo de 2 años evaluado con un solo examen; IB DP Y1+Y2 igual.
- Rodybee es mastery-paced. La edad reportada (16-18) es el rango natural, no una segmentación.
### 9.2. Conexión con algebra_2
**Decisión**: `pre_calculus.hex_1` (funciones avanzadas) presupone `algebra_2.hex_4` (funciones racionales con asíntotas) cerrado. `pre_calculus.hex_3` (identidades avanzadas) presupone `algebra_2.hex_6` (identidades pitagórica + sum/diff + double-angle) cerrado. `pre_calculus.hex_7` (DeMoivre) presupone `algebra_2.hex_12` (complex Cartesian + polar form intro) cerrado.
**Razones**:
- Logs, polinomios avanzados, racionales, trig completa, complex Cartesian — TODOS son prerrequisitos directos. Sin ellos, pre_calculus es opaco.
### 9.3. Conexión con calculus_intro (futuro)
**Decisión**: `pre_calculus.hex_10` (derivada intuitiva) y `pre_calculus.hex_11` (Riemann sums) son los anchors para `calculus_intro`. El kid que cierre `pre_calculus` debería poder saltar a `calculus_intro.hex_1` (técnicas de derivación: producto, cociente, cadena) sin necesitar re-introducir el concepto.
### 9.4. ¿Incluir intro a derivada/integral en pre_calculus? **SÍ**
**Decisión crítica resuelta**: incluir derivada **como concepto** (límite del cociente diferencial, sin técnicas) y integral **como suma de Riemann** (sin antiderivada). Hex_10 y hex_11.
**Razones**:
- AP Precalculus U1.4-5 introduce explícitamente "rate of change at a point" y "changing rates of change" — el concepto de derivada **como concepto** sin ejecutar reglas formales.
- IB AA HL Y1 introduce la derivada como límite del cociente diferencial al final del año — preparando Y2 que ejecuta técnicas.
- Cambridge AS Pure 1 introduce diferenciación intuitiva con la fórmula `d/dx(x^n) = nx^(n-1)`, pero el kid de Rodybee viene de `algebra_2` y no ha visto cálculo: la introducción CONCEPTUAL es más limpia que la introducción TÉCNICA.
- Spain Bach 2° y México MCCEMS Cálculo Diferencial separan límites/derivada (en pre-calculus) de técnicas avanzadas (en cálculo).
- AP Calculus AB Unit 1 = límites + continuidad + IVT, Unit 2 = derivada como límite + reglas básicas. Si **límites + continuidad + concepto de derivada** ya están en pre_calculus, AP Calc AB Unit 1 + parte de Unit 2 son repaso, lo cual es **deseable** pedagógicamente.
**Excepción**: NO incluir reglas de derivación (regla del producto, cociente, cadena, derivada de funciones trascendentes con técnicas). Eso es `calculus_intro`.
### 9.5. ¿Dónde van vectores? **En pre_calculus**
**Decisión**: vectores 2D + 3D + dot product en `pre_calculus.hex_4`. NO en `algebra_2` (decisión ya tomada en doc 8) ni en `calculus_intro` (futuro).
**Razones**:
- AP Precalculus U4 los pone aquí.
- Cambridge A2 Pure 3 los pone aquí.
- IB AA HL Y1 los pone aquí.
- Singapore JC1 (paralelo a pre_calculus) los pone aquí.
- ACARA Specialist Y11-Y12 los pone aquí.
- Único contraejemplo: Japan Math C es un curso aparte. Rodybee no separa.
**Cross product OPCIONAL** porque AP Precalculus oficialmente no lo incluye (lo marca como "additional"). Sólo Singapore JC1, ACARA Specialist Y12 y IB AA HL lo incluyen formalmente.
### 9.6. ¿Dónde va induction? **En pre_calculus, dentro del bloque de series**
**Decisión**: induction (proof by induction) en `pre_calculus.hex_9` junto con sucesiones avanzadas y series telescópicas.
**Razones**:
- IB AA HL Y1 lo pone con números y álgebra (Topic 1).
- ACARA Specialist Y11 lo pone con proof.
- Spain Bach 1° lo pone con sucesiones.
- Cambridge Further 9231 lo pone aparte como técnica.
- Razón pedagógica: induction es load-bearing para sucesiones recursivas y series — el contexto natural es probar fórmulas de sumas. Ponerlo aparte como proof técnica abstracta lo hace opaco.
### 9.7. ¿Dónde va polar form completa de complex + DeMoivre? **En pre_calculus**
**Decisión**: hex_7 dedicado a complex polar + DeMoivre + nth roots. Esto **cierra** los complex numbers de `algebra_2.hex_12` (que dejó polar form sólo como skill OPCIONAL).
**Razones**:
- AP Precalculus U4.14-15 lo incluye explícitamente.
- IB AA HL Y1 lo incluye con Euler completa.
- Cambridge A2 Pure 3 lo incluye (sin DeMoivre nominal pero con polar).
- ACARA Specialist Y11-Y12 lo incluye con DeMoivre + nth roots.
- Japan Math III lo incluye.
- Sólo Singapore H2 estándar no lo incluye (lo deja para H2 Further).
### 9.8. ¿L'Hôpital sí o no? **Como skill OPCIONAL**
**Decisión**: `lhopital_rule_intro` en hex_8 como skill opcional, ejecutable después de hex_10 (derivada).
**Razones**:
- Spain Bach 2° lo incluye explícitamente con límites.
- México Cálculo Diferencial lo incluye.
- AP Precalculus NO lo incluye.
- AP Calculus AB lo incluye en Unit 4.
- Cambridge AS Pure 1 NO lo incluye.
- IB AA HL Y2 lo incluye.
- Es elegante y útil para indeterminadas, pero requiere haber introducido la derivada. Marcar opcional permite al kid avanzado completarlo sin penalizar al kid que no.
### 9.9. World y ProgramId
**Decisión**: World = `"math"` (existente). `ProgramId = "pre_calculus"`.
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## 10. Pedagogía especial
### 10.1. Khan Academy approach a límites (hex_8)
Khan Academy enseña límites en un orden estricto que Rodybee debería respetar:
1. **Aproximación numérica primero** (tabla): `lim_{x→1} (x²−1)/(x−1)`. Hacer tabla con x = 0.9, 0.99, 0.999, 1.001, 1.01, 1.1 — el kid ve f(x) → 2.
2. **Aproximación gráfica**: graficar la función y observar el comportamiento cerca de x = 1 (hueco visual).
3. **Aproximación algebraica**: factorizar `(x²−1)/(x−1) = (x−1)(x+1)/(x−1) = x+1` (cancelar) → límite = 2.
4. **Definición intuitiva** después de los tres ejemplos.
5. **Límites laterales** introducidos vía piecewise: `f(x) = x para x<0; x+1 para x≥0` — `lim_{x→0⁻} = 0`, `lim_{x→0⁺} = 1`. Sin límite bilateral.
6. **Límites al infinito** y asíntotas como aplicación.
7. **L'Hôpital** sólo después de introducir la derivada.
Recurso: [Khan Academy Limits and Continuity](https://www.khanacademy.org/math/ap-calculus-ab/ab-limits-new). Rodybee debería respetar este orden pedagógico — es load-bearing para que el concepto no quede como "magia algebraica".
### 10.2. Desmos / GeoGebra para parametric y polar (hex_5, hex_6)
Parametric y polar son los topics donde la **visualización dinámica es load-bearing**. Una curva paramétrica `(cos t, sin t)` es opaca como ecuación; **trazada con un slider de t** es obvia.
Rodybee debería:
1. **Embedded Desmos applets** en CADA skill de hex_5 y hex_6. El kid manipula el slider de t (parametric) o θ (polar) y ve la curva dibujarse en tiempo real.
2. **Demos físicas** (videos) para parametric: caída de proyectil con `(v_x · t, v₀ − ½gt²)`; movimiento circular con `(r cos(ωt), r sin(ωt))`.
3. **Tabla t→(x,y) visible junto a la gráfica**: al cambiar t, el kid ve simultáneamente la fila de la tabla iluminarse y el punto moverse en el plano.
Recursos: [Desmos parametric example](https://www.desmos.com/calculator), [GeoGebra polar grapher](https://www.geogebra.org/).
### 10.3. Singapore method para induction (hex_9)
Singapore JC1 H2 (en H2 Further) y Cambridge Further 9231 enseñan induction en orden:
1. **Metáfora del dominó** (Khan Academy lo formaliza): una fila infinita de fichas. Si (a) la primera cae, y (b) cada ficha que cae tira la siguiente — entonces TODAS caen. Eso es induction.
2. **Estructura formal en 4 pasos** (IB AA HL):
- **Base case**: probar P(1) (o el primer valor relevante).
- **Inductive hypothesis**: asumir P(k) verdadero para algún k arbitrario.
- **Inductive step**: probar P(k) → P(k+1).
- **Conclusion**: por inducción, P(n) verdadero para todo n natural.
3. **Primer ejemplo arquetípico**: `Σ_{i=1}^{n} i = n(n+1)/2`. El kid debería poder hacerlo en el primer intento siguiendo la plantilla.
4. **Segundo ejemplo**: divisibilidad — `n³ − n` divisible por 6 para todo n natural.
5. **Tercer ejemplo**: desigualdad — `2^n > n²` para n ≥ 5.
6. **Anti-pattern**: mostrar un "proof by induction" donde el kid se salta el base case y "demuestra" algo falso. Esto cementa por qué los 4 pasos son load-bearing.
Recursos: [LibreTexts Mathematical Induction (Stitz-Zeager)](https://math.libretexts.org/Bookshelves/Precalculus/Precalculus_(Stitz-Zeager)/09:_Sequences_and_the_Binomial_Theorem/9.03:_Mathematical_Induction), [Khan Academy Induction (themathpage)](https://www.themathpage.com/aPreCalc/mathematical-induction.htm).
### 10.4. AP Precalculus approach a "rates of change" (hex_2 + hex_10)
AP Precalculus organiza rates of change como **espina vertebral del curso entero** (Big Idea: Change). La idea es que **CADA familia de funciones** tiene su propio comportamiento de rate of change:
- **Lineal**: rate of change constante.
- **Cuadrática**: rate of change lineal (la "rate of change of the rate of change" es constante).
- **Cúbica**: rate of change cuadrática (cambios cúbicos).
- **Exponencial**: rate of change PROPORCIONAL al valor de la función (`dy/dx ∝ y`).
- **Logarítmica**: rate of change inversamente proporcional a x.
- **Trigonométrica**: rate of change periódica con desfase de π/2 respecto a la función.
Rodybee debería:
1. Introducir "rates of change" en `pre_calculus.hex_2` como **propiedad observable de cada familia**, no como técnica.
2. En `hex_10`, formalizar el concepto con la definición de derivada como límite — pero conectar **explícitamente** con las observaciones de hex_2.
3. **Tabular rate of change** para cada familia: el kid construye una tabla con f(x), Δf, Δf/Δx, Δ(Δf/Δx) — y descubre los patrones por sí mismo.
Recurso: [AP Precalculus Course Framework](https://aztransmac2.asu.edu/ATF/ATF_EXAM_INFO/AP_Precalculus_CourseExamOverview.pdf), [Flipped Math Polynomial Functions and Rates of Change](https://precalculus.flippedmath.com/14-polynomial-functions-and-rates-of-change.html).
### 10.5. Visualizing Riemann sums (hex_11)
Riemann sums son conceptualmente densas. Rodybee debería usar:
1. **Slider applet de Desmos**: f(x) = x² en [0, 2]. El kid mueve un slider n = 4, 8, 16, 32, 64, 128 — ve los rectángulos refinarse y la suma converger a 8/3.
2. **Three flavors visibles**: left endpoint, right endpoint, midpoint — superpuestos para que el kid vea cómo cada uno aproxima desde un lado.
3. **Anti-pattern**: rectángulos demasiado anchos (n=2) producen error grande; el kid debe sentir el error antes de ver la fórmula `lim_{n→∞}`.
4. **Casos especiales**: y = x, y = x², y = sin x — el kid puede VERIFICAR el área geométricamente (triángulo, cuarto de parábola, no trivial).
Recurso: [Math Insight Calculating area under curve using Riemann sums](https://mathinsight.org/calculating_area_under_curve_riemann_sums), [Pearson Precalc Area Under a Curve](https://www.pearson.com/channels/precalculus/learn/patrick/23-intro-to-derivatives-and-area-under-the-curve/area-under-a-curve).
### 10.6. Vector visualization en 3D (hex_4)
Vectores 3D son donde el kid puede sentir que "no lo ve". Dot product `u · v = |u||v|cos θ` es definitorio pero opaco.
Rodybee debería:
1. **GeoGebra 3D applet** en cada skill 3D. El kid rota el plano y ve los vectores desde múltiples ángulos.
2. **Demo física**: F · d = trabajo (joules). El kid mueve un peso 1 m con fuerza 10 N en dirección de movimiento → 10 J. Si la fuerza está a 60° de la dirección → 5 J. Esto cementa el `cos θ` del dot product.
3. **Anti-pattern**: u · v negativo significa que u y v apuntan en direcciones opuestas (ángulo > 90°). El kid debe ver esto físicamente.
4. **Cross product (si se cubre)**: regla de la mano derecha + magnitud = área del paralelogramo. Recurso: [Analyze Math 3D scalar and cross products](https://www.analyzemath.com/high_school_math/grade_12/scalar_and_cross_products_of_3D_vectors.html).
### 10.7. DeMoivre como herramienta de potencias y raíces (hex_7)
DeMoivre + nth roots es el primer topic donde el kid **siente que la matemática es elegante**. Con DeMoivre, calcular `(1+i)^10` se vuelve trivial: convertir a polar → `(√2 · cis(π/4))^10 = 32 · cis(10π/4) = 32 · cis(5π/2) = 32 · cis(π/2) = 32i`.
Rodybee debería:
1. **Argand diagram applet** (GeoGebra): el kid arrastra el complex z y ve r y θ actualizarse.
2. **Comparación side-by-side**: calcular `(1+i)^10` en Cartesian (FOIL 10 veces, doloroso) vs polar (3 pasos, elegante). Esto vende DeMoivre.
3. **nth roots como geometría**: las n raíces de la unidad están equiespaciadas en el círculo unitario, formando un n-gon regular. Pure visual.
4. **Aplicación**: raíces de `z^4 = 16` → 4 puntos en el círculo de radio 2.
Recurso: [LibreTexts DeMoivre's Theorem and Powers of Complex Numbers (Sundstrom-Schlicker)](https://math.libretexts.org/Bookshelves/Precalculus/Book:_Trigonometry_(Sundstrom_and_Schlicker)/05:_Complex_Numbers_and_Polar_Coordinates/5.03:_DeMoivres_Theorem_and_Powers_of_Complex_Numbers), [CK-12 De Moivre's Theorem and nth Roots](https://flexbooks.ck12.org/cbook/ck-12-precalculus-concepts-2.0/section/11.4/related/lesson/demoivres-theorem-and-nth-roots-trig/).
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## 11. Apéndice: ¿Qué queda para `calculus_intro` (futuro)?
`pre_calculus` cierra con derivada **como concepto** y Riemann sums **como concepto**. `calculus_intro` (futuro programa) debería cubrir:
### 11.1. Cálculo Diferencial completo
1. **Reglas de derivación**:
- Regla de la potencia formal `d/dx(x^n) = n·x^(n-1)`
- Suma/resta/constante por función
- **Regla del producto** `(fg)' = f'g + fg'`
- **Regla del cociente** `(f/g)' = (f'g − fg')/g²`
- **Regla de la cadena** `(f ∘ g)'(x) = f'(g(x)) · g'(x)` — la regla más importante
- **Diferenciación implícita** (para curvas como x² + y² = 1)
- **Diferenciación paramétrica** `dy/dx = (dy/dt) / (dx/dt)`
- **Diferenciación logarítmica**
2. **Derivadas de funciones trascendentes**:
- `d/dx(sin x) = cos x`, etc. (las 6 trig)
- `d/dx(e^x) = e^x`, `d/dx(ln x) = 1/x`
- `d/dx(arcsin x) = 1/√(1−x²)`, etc.
3. **Aplicaciones de la derivada**:
- Tangentes y normales
- Tasas relacionadas (related rates)
- Optimización (max/min) con criterio de primera y segunda derivada
- Concavidad y puntos de inflexión
- Curva sketching completa
- **Mean Value Theorem (MVT)**
- L'Hôpital aplicado en casos avanzados (0·∞, ∞−∞, 1^∞, etc.)
### 11.2. Cálculo Integral completo
1. **Antiderivadas**:
- Integral indefinida `∫ f(x) dx = F(x) + C`
- Tabla de antiderivadas básicas
2. **Teorema Fundamental del Cálculo (FTC)**:
- FTC parte 1: `F(x) = ∫_a^x f(t) dt → F'(x) = f(x)`
- FTC parte 2: `∫_a^b f(x) dx = F(b) − F(a)`
3. **Técnicas de integración**:
- Sustitución (u-sub)
- Integración por partes
- Fracciones parciales (sólo casos básicos)
- Sustitución trigonométrica (opcional)
4. **Aplicaciones de la integral**:
- Área entre curvas
- Volumen por discos / arandelas / cilindros
- Longitud de arco
- Trabajo, fluido, centro de masa (selectivo)
### 11.3. Series infinitas (Taylor / Maclaurin)
Esto es **más allá de calculus_intro** — corresponde a un eventual `calculus_avanzado` (equivalente a AP Calc BC / Cambridge A2 Pure 3 series). Topics:
- Series de potencias y radio de convergencia
- Series de Taylor y Maclaurin
- Convergencia (test de razón, test de comparación)
- Aproximaciones de funciones por polinomios de Taylor
### 11.4. Differential equations
También más allá de `calculus_intro`:
- ED de primer orden con variables separables
- ED lineales de primer orden
- Aplicaciones (crecimiento exponencial formal, decaimiento radiactivo, ley de Newton del enfriamiento)
### 11.5. Vector calculus (sólo si se hace `calculus_avanzado`)
- Vectores como funciones del tiempo (refresco de pre_calc)
- Derivada de funciones vectoriales
- Velocidad y aceleración como vectores
- Integral de funciones vectoriales
**Decisión arquitectónica para Rodybee**: el techo natural del HS Math de Rodybee debería ser `calculus_intro` con cálculo diferencial e integral completos (equivalente a AP Calc AB). Series Taylor + ED + vector calculus se reservan para post-HS (university-level).
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## 12. Limitaciones del research
1. **WebFetch denegado** tras los primeros intentos. Los textos extractados son los snippets devueltos por WebSearch contra los PDFs oficiales — densos pero no exhaustivos. Para validación final, recomendable revisar los PDFs primarios directamente (URLs en sección 2).
2. **Korean curriculum**: las fuentes oficiales `moe.go.kr` están en coreano; las traducciones inglesas de NamuWiki son no-oficiales. Tratadas como aproximación con cross-check intencional.
3. **Japanese curriculum (MEXT)**: los documentos oficiales del 学習指導要領 están en japonés. JASSO EJU 2026 syllabus es la mejor fuente en inglés disponible — pero EJU es el examen para estudiantes internacionales, no el currículum doméstico exacto.
4. **México MCCEMS**: el currículum 2025-2028 es nuevo y los documentos están parcialmente en transición desde el currículo anterior. Las "progresiones de aprendizaje" son la fuente más reciente.
5. **AP Precalculus**: el course framework es de febrero 2022 (preview); el primer exam fue mayo 2024. Los datos de exam weighting precisos por unidad provienen de fuentes secundarias (Albert.io, Fiveable) — el documento oficial College Board los confirma pero el snippet de WebSearch no devolvió las cifras exactas. Estimaciones: U1 ~30-40%, U2 ~27-40%, U3 ~30-35%, U4 no examinada.
6. **Cambridge 9709 syllabus 2026-2027**: hay una "syllabus update" de febrero 2025 que introduce ajustes menores. La versión usada es la 3 (febrero 2025).
7. **Singapore H2 9758**: el syllabus 2026 mantiene los cambios de la revisión 2025 (e.g., remoción de complex numbers en forma trigonométrica/exponencial — sólo Cartesian + polar básica).
8. **IB DP**: el documento "first assessment 2021" sigue vigente para el cohort 2021-2026; un nuevo subject guide está previsto para first assessment 2027 pero no estaba publicado al cierre de este research.
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## 13. Fuentes con URLs
### Fuentes primarias
- **AP Precalculus (College Board, US, 2023)**:
- [AP Central — AP Precalculus Course](https://apcentral.collegeboard.org/courses/ap-precalculus)
- [AP Precalculus Course and Exam Description PDF](https://apcentral.collegeboard.org/media/pdf/ap-precalculus-course-and-exam-description.pdf)
- [AP Precalculus Course Overview PDF](https://apcentral.collegeboard.org/media/pdf/ap-precalculus-course-overview.pdf)
- [AP Precalculus Course Framework Feb 2022 Preview (mirror at ASU)](https://aztransmac2.asu.edu/ATF/ATF_EXAM_INFO/AP_Precalculus_CourseExamOverview.pdf)
- [AP Precalculus Exam page](https://apcentral.collegeboard.org/courses/ap-precalculus/exam)
- [AP Students AP Precalculus](https://apstudents.collegeboard.org/courses/ap-precalculus)
- **AP Calculus AB (College Board, para línea de quiebre)**:
- [AP Central — AP Calculus AB](https://apcentral.collegeboard.org/courses/ap-calculus-ab)
- [AP Calculus AB and BC Course and Exam Description PDF](https://apcentral.collegeboard.org/media/pdf/ap-calculus-ab-and-bc-course-and-exam-description.pdf)
- **CCSS HS (+) standards**:
- [CCSS HS Functions](https://www.thecorestandards.org/Math/Content/HSF/)
- [CCSS HS Number & Quantity Vector & Matrix](https://www.thecorestandards.org/Math/Content/HSN/VM/)
- [CCSS HS Number & Quantity Complex Number System](https://www.thecorestandards.org/Math/Content/HSN/CN/)
- [Maryland MCCRS Precalculus PDF](https://www.marylandpublicschools.org/about/Documents/DCAA/Math/MCCRSM/MCCRSPreCalculus.pdf)
- [Tennessee Precalculus 2022 PDF](https://www.tn.gov/content/dam/tn/stateboardofeducation/documents/2022-sbe-meetings/may-20,-2022-sbe-meeting/5-20-22%20III%20M%20TN%20Academic%20Standards%20for%20Fourth-Year%20Math%20Attachment%202%20-%20Pre-calculus.pdf)
- [California Precalculus 2013 PDF](https://all4ed.org/wp-content/uploads/2015/01/Precalculus.pdf)
- [Montgomery County MD Precalculus Unit 4 — Vectors, Parametrics, Polars PDF](https://www.montgomeryschoolsmd.org/siteassets/district/curriculum/math/high/precalculus/ccss.precalculus.unit-4.vectors-parametrics-and-polars-for-parents.pdf)
- **Cambridge International A Level Mathematics 9709 (Pure 2 + Pure 3)**:
- [Syllabus 2026-2027 PDF](https://www.cambridgeinternational.org/Images/697427-2026-2027-syllabus.pdf)
- [Syllabus update 2026-2027 PDF](https://www.cambridgeinternational.org/Images/723728-2026-2027-syllabus-update.pdf)
- [Cambridge International AS & A Level Mathematics page](https://www.cambridgeinternational.org/programmes-and-qualifications/cambridge-international-as-and-a-level-mathematics-9709/)
- [Pure 3 Scheme of Work PDF](https://cdnsm5-ss20.sharpschool.com/UserFiles/Servers/Server_4756360/File/Academics/Magnet%20Program%20-%20Cambridge%20AICE/Cambridge%20Resources%20for%20Teaching/Mathematics%20Pure%20Math%20Paper%203%20Scheme%20of%20Work.pdf)
- **Singapore SEAB H2 Mathematics 9758**:
- [Syllabus 2026 PDF](https://www.seab.gov.sg/files/A%20Level%20Syllabus%20Sch%20Cddts/2026/9758_y26_sy.pdf)
- [Syllabus 2024 PDF (referencia)](https://www.seab.gov.sg/docs/default-source/national-examinations/syllabus/alevel/2024syllabus/9758_y24_sy.pdf)
- [MOE Pre-University H2 Mathematics 2024 PDF](https://www.moe.gov.sg/-/media/files/post-secondary/syllabuses/maths/2024-pre-university-h2-mathematics.pdf)
- [SEAB Further Mathematics 9649 Syllabus 2026 PDF](https://www.seab.gov.sg/files/A%20Level%20Syllabus%20Sch%20Cddts/2026/9649_y26_sy.pdf)
- [SEAB 2026 GCE A-Level Syllabuses page](https://www.seab.gov.sg/gce-a-level/a-level-syllabuses-examined-for-school-candidates-2026/)
- **IB Diploma Programme Mathematics**:
- [IB DP Mathematics page](https://ibo.org/programmes/diploma-programme/curriculum/mathematics/)
- [AA subject brief PDF](https://ibo.org/contentassets/5895a05412144fe890312bad52b17044/subject-brief-dp-math-analysis-and-approaches-en.pdf)
- [AI subject brief PDF](https://ibo.org/contentassets/5895a05412144fe890312bad52b17044/subject-brief-dp-math-applications-and-interpretations-en.pdf)
- [AA Subject Guide PDF](https://dp.uwcea.org/docs/Mathematics%20-%20Analysis%20and%20Approaches%20Subject%20Guide.pdf)
- [AI Subject Guide PDF](https://www.woodstockschool.in/wp-content/uploads/2019/10/Mathematics-applications-and-interpretation-guide.pdf)
- **Japan MEXT Senior High Mathematics II + III + C**:
- [JASSO EJU 2026 Mathematics syllabus](https://www.jasso.go.jp/en/ryugaku/eju/examinee/syllabus/mathematics.html)
- [JASSO EJU 2026 Math syllabus PDF](https://www.jasso.go.jp/en/ryugaku/eju/examinee/syllabus/__icsFiles/afieldfile/2025/12/02/2026_syllabus_math_e.pdf)
- [JASSO EJU New Syllabus 2025+ PDF](https://www.jasso.go.jp/en/ryugaku/eju/about/revision/__icsFiles/afieldfile/2025/02/13/new_syllabus_math_e.pdf)
- [Mathematics 2: Japanese Grade 11 (AMS Bookstore)](https://bookstore.ams.org/mawrld-9)
- **Korea 미적분 (Calculus) 2022 Revised Curriculum**:
- [NamuWiki — 2022 Revised HS Math Department](https://en.namu.wiki/w/2022%20%EA%B0%9C%EC%A0%95%20%EA%B5%90%EC%9C%A1%EA%B3%BC%EC%A0%95/%EC%88%98%ED%95%99%EA%B3%BC/%EA%B3%A0%EB%93%B1%ED%95%99%EA%B5%90)
- [NamuWiki — Calculus I (미적분Ⅰ)](https://en.namu.wiki/w/2022%20%EA%B0%9C%EC%A0%95%20%EA%B5%90%EC%9C%A1%EA%B3%BC%EC%A0%95/%EC%88%98%ED%95%99%EA%B3%BC/%EA%B3%A0%EB%93%B1%ED%95%99%EA%B5%90/%EB%AF%B8%EC%A0%81%EB%B6%84%E2%85%A0)
- [NamuWiki — Calculus II (미적분Ⅱ)](https://en.namu.wiki/w/2022%20%EA%B0%9C%EC%A0%95%20%EA%B5%90%EC%9C%A1%EA%B3%BC%EC%A0%95/%EC%88%98%ED%95%99%EA%B3%BC/%EA%B3%A0%EB%93%B1%ED%95%99%EA%B5%90/%EB%AF%B8%EC%A0%81%EB%B6%84%E2%85%A1)
- [Springer ZDM article on Korean calculus curriculum](https://link.springer.com/article/10.1007/s11858-020-01219-w)
- **ACARA / SCSA WA / QCAA Specialist Mathematics**:
- [ACARA Mathematics F-12](https://www.acara.edu.au/curriculum/foundation-year-10/learning-areas-subjects/mathematics)
- [WA SCSA Mathematics Specialist ATAR Y11 syllabus PDF](https://senior-secondary.scsa.wa.edu.au/__data/assets/pdf_file/0005/1088906/Mathematics-Specialist-ATAR-Year-11-Syllabus-for-teaching-from-January-2024_pdf.PDF)
- [SCSA Y11-Y12 Mathematics Specialist page](https://senior-secondary.scsa.wa.edu.au/syllabus-and-support-materials/mathematics/mathematics-specialist)
- [QCAA Specialist Mathematics 2025 v1.4 syllabus PDF](https://www.qcaa.qld.edu.au/downloads/senior-qce/syllabuses/snr_maths_specialist_25_syll.pdf)
- [QCAA Specialist Mathematics page](https://www.qcaa.qld.edu.au/senior/senior-subjects/syllabuses/mathematics/specialist-mathematics)
- **España LOMLOE Bachillerato 2°**:
- [educagob — Matemáticas II 2° Bach criterios evaluación](https://educagob.educacionfpydeportes.gob.es/curriculo/curriculo-lomloe/menu-curriculos-basicos/bachillerato/materias/matematicas/criterios-eval-segundo-curso.html)
- [educagob — Matemáticas Aplicadas CCSS II](https://educagob.educacionfpydeportes.gob.es/curriculo/curriculo-lomloe/menu-curriculos-basicos/bachillerato/materias/matematicas-aplicadas-ccss/criterios-eval-segundo-curso.html)
- [Apuntes Marea Verde Bach 2 Matemáticas II Cap. 7 Límites PDF](https://www.apuntesmareaverde.org.es/grupos/mat/LOMLOE/Bachillerato/BC2%2007%20Limites.pdf)
- [Apuntes Marea Verde Bach 2 Matemáticas II Cap. 8 Derivadas PDF](https://www.apuntesmareaverde.org.es/grupos/mat/LOMLOE/Bachillerato/BC2%2008%20Derivadas.pdf)
- [achimagec — Saberes básicos Matemáticas II LOMLOE](https://achimagec.com/saberes-basicos-contenidos-lomloe-de-matematicas-ii-2o-de-bachillerato/)
- **México MCCEMS DGB**:
- [DGB Programas de estudio 2025-2028](https://dgb.sep.gob.mx/programas-de-estudio)
- [Pensamiento Matemático III PDF](https://dgb.sep.gob.mx/storage/recursos/2025/09/ABap6exTSS-Pensamiento-Matematico-III.pdf)
- [Pensamiento Matemático MCC documento sintético PDF](https://dgb.sep.gob.mx/storage/recursos/2025/09/C1rup2PyU9-MCC_PENSAMIENTO-MATEMATICO.pdf)
- [Cálculo Diferencial PDF](https://dgb.sep.gob.mx/storage/recursos/2023/08/wGtkVm8tDV-calculo-diferencial-1.pdf)
- [Progresiones de aprendizaje — Pensamiento matemático PDF](http://desarrolloprofesionaldocente.sems.gob.mx/convocatoria1_2023/docs/Documento%20progresiones%20-%20Pensamiento%20matem%C3%A1tico.pdf)
- [DGB Marco Curricular Común MCCEMS](https://dgb.sep.gob.mx/marco-curricular)
### Fuentes secundarias (cross-check)
- **Khan Academy**:
- [AP Calculus AB Limits and Continuity](https://www.khanacademy.org/math/ap-calculus-ab/ab-limits-new)
- [Precalculus Math Mission overview](https://khanacademy.fandom.com/wiki/Precalculus_Math_Mission)
- [Calculus 2 — Parametric, polar, vector-valued functions](https://www.khanacademy.org/math/calculus-2/cs2-parametric-equations-polar-coordinates-and-vector-valued-functions)
- [Get ready for parametric, polar, vector](https://www.khanacademy.org/math/get-ready-for-ap-calc/xa350bf684c056c5c:get-ready-for-parametric-polar-vector)
- [Composite and inverse functions](https://www.khanacademy.org/math/precalculus/x9e81a4f98389efdf:composite)
- [Trigonometry Unit Circle](https://www.khanacademy.org/math/trigonometry/unit-circle-trig-func)
- **Fiveable AP Precalc**:
- [AP Precalc Unit 1 review](https://fiveable.me/ap-pre-calc/unit-1/review/study-guide/Px2KiWz3udBhZKep)
- [AP Precalc Unit 3 review](https://fiveable.me/ap-pre-calc/unit-3)
- [AP Precalc Unit 4 review](https://fiveable.me/ap-pre-calc/unit-4/review/study-guide/WftjfCJa3KSWVRhi)
- [AP Precalc Implicitly Defined Functions](https://fiveable.me/pre-calc/unit-4/implicitly-defined-functions/study-guide/Mte9qLDnbtGWht7g)
- **Flipped Math AP Precalc**:
- [AP Precalc index](https://precalculus.flippedmath.com/ap-precalc.html)
- [Unit 4A Parametrics, Vectors, Matrices](https://precalculus.flippedmath.com/unit-4a-parametrics-vectors-and-matrices.html)
- [1.4 Polynomial Functions and Rates of Change](https://precalculus.flippedmath.com/14-polynomial-functions-and-rates-of-change.html)
- **Save My Exams + Revision Village**:
- [Save My Exams DP AA HL Complex Numbers Intro](https://www.savemyexams.com/dp/maths/ib/aa/21/hl/revision-notes/number-and-algebra/complex-numbers/introduction/)
- [Revision Village AA HL](https://www.revisionvillage.com/ib-math/analysis-and-approaches-hl/)
- [Revision Village AI HL](https://www.revisionvillage.com/ib-math/applications-and-interpretation-hl/)
- [Save My Exams AP Calc AB Limits and Continuity](https://www.savemyexams.com/ap/maths/college-board/calculus-ab/20/revision-notes/limits-and-continuity/continuity/continuity/)
- **LibreTexts + CK-12**:
- [LibreTexts Mathematical Induction (Stitz-Zeager)](https://math.libretexts.org/Bookshelves/Precalculus/Precalculus_(Stitz-Zeager)/09:_Sequences_and_the_Binomial_Theorem/9.03:_Mathematical_Induction)
- [LibreTexts DeMoivre's Theorem (Sundstrom-Schlicker)](https://math.libretexts.org/Bookshelves/Precalculus/Book:_Trigonometry_(Sundstrom_and_Schlicker)/05:_Complex_Numbers_and_Polar_Coordinates/5.03:_DeMoivres_Theorem_and_Powers_of_Complex_Numbers)
- [LibreTexts Function Compilations Piecewise/Combinations/Composition](https://math.libretexts.org/Courses/Monroe_Community_College/MTH_165_College_Algebra_MTH_175_Precalculus/02:_Functions_and_Their_Graphs/2.04:_Function_Compilations_-_Piecewise_Algebraic_Combinations_and_Composition)
- [LibreTexts L'Hopital's Rule](https://math.libretexts.org/Courses/City_College_of_San_Francisco/CCSF_Calculus_II__Integral_Calculus_._Lockman_Spring_2024/03:_Techniques_of_Integration/3.06:_Indeterminate_Forms_and_LHospitals_Rule)
- [CK-12 De Moivre's Theorem and nth Roots](https://flexbooks.ck12.org/cbook/ck-12-precalculus-concepts-2.0/section/11.4/related/lesson/demoivres-theorem-and-nth-roots-trig/)
- [CK-12 Cross product calculation](https://www.ck12.org/flexi/precalculus/vector-projection/how-do-i-calculate-cross-product-of-vectors/)
- [Mathspace Precalculus Continuity, end behavior, IVT](https://mathspace.co/textbooks/syllabuses/Syllabus-949/topics/Topic-18859/subtopics/Subtopic-255016/)
- [Mathspace Precalculus Polar Form](https://mathspace.co/textbooks/syllabuses/Syllabus-949/topics/Topic-18870/subtopics/Subtopic-255101/)
- **Otros**:
- [Pearson Precalc Tangent Lines & Derivatives](https://www.pearson.com/channels/precalculus/learn/patrick/23-intro-to-derivatives-and-area-under-the-curve/tangent-lines-and-derivatives)
- [Pearson Precalc Area Under a Curve](https://www.pearson.com/channels/precalculus/learn/patrick/23-intro-to-derivatives-and-area-under-the-curve/area-under-a-curve)
- [Math Insight Riemann sums](https://mathinsight.org/calculating_area_under_curve_riemann_sums)
- [Analyze Math 3D scalar/cross products](https://www.analyzemath.com/high_school_math/grade_12/scalar_and_cross_products_of_3D_vectors.html)
- [themathpage Mathematical induction](https://www.themathpage.com/aPreCalc/mathematical-induction.htm)
- [Wikipedia AP Precalculus](https://en.wikipedia.org/wiki/AP_Precalculus)
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**FIN del documento `standards-benchmark-pre-calculus.md`** — Noveno y último benchmark de la serie HS Math.