# Benchmark de Algebra 2 (Algebra Avanzada) contra estándares mundiales

> Estado: research mixto (2026-04-30) — WebSearch contra fuentes oficiales primarias (thecorestandards.org, seab.gov.sg, cambridgeinternational.org, qualifications.pearson.com, ibo.org, educagob.educacionfpydeportes.gob.es, dgb.sep.gob.mx, australiancurriculum.edu.au, jasso.go.jp) + cross-check con sitios secundarios reconocidos (Khan Academy, Fishtank Learning, Open Up Resources HS Math, Save My Exams, Revision Village, Maths Genie) + conocimiento del modelo (cutoff enero 2026) para llenar gaps. WebFetch denegado en sesión; los textos extractados por WebSearch son los snippets que devolvió la API contra los PDFs oficiales y suficientes para citar.
> Programa cubierto: **Algebra 2 (Algebra Avanzada) G10-G12** (~edades 15-18) — el delta sobre `algebra_1` (que cerró cuadráticas, polinomios básicos, exponential functions, sequences básicas, radicals/rational expressions intro, inverse/piecewise/absolute value, regresión lineal con r) y `geometry_secondary` (que cerró trig del triángulo rectángulo + ley de senos/cosenos + transformaciones + círculo).
> Documentos hermanos: `standards-benchmark-{arithmetic,reading,geometry,fractions,pre-algebra,algebra-1,geometry-secondary}.md`. **Octavo documento** de la serie y **cuarto de High School Math** — el más denso conceptualmente del currículum HS.

---

## 1. Resumen ejecutivo

- **El techo de Algebra 2 está repartido entre cuatro perfiles distintos**, todos converging en el mismo cuerpo conceptual:
  1. **Singapore JC1 H2 Mathematics 9758** + **Cambridge IGCSE Additional 0606** — el techo asiático/internacional de **densidad simbólica** (binomial theorem, sequences and series formales, complex numbers, partial fractions). Singapore JC1 ya entra a calculus completo (diferenciación e integración de funciones trascendentes), por lo que su nivel "Algebra 2 puro" se solapa con pre-calculus americano. ([SEAB H2 Math 9758 syllabus](https://www.seab.gov.sg/files/A%20Level%20Syllabus%20Sch%20Cddts/2026/9758_y26_sy.pdf), [Cambridge 0606 syllabus](https://www.cambridgeinternational.org/Images/662470-2025-2027-syllabus.pdf))
  2. **CCSS HS Algebra 2 (HSA + HSF + HSN-CN + HSN-VM + HSS-CP + HSS-MD)** — el techo americano de **estructura conceptual**: separa polinomios avanzados (A-APR.B-D, factor theorem y rational root), funciones trascendentes (F-IF/F-BF/F-LE.A.4 con logs), trigonometría como funciones (F-TF.A-B), complex numbers (N-CN.A-B), matrices (N-VM.C, todas con (+)), conic sections (G-GPE.A.2-3), conditional probability (S-CP), normal distribution (S-IC.A-B). ([CCSS HS Algebra](https://www.thecorestandards.org/Math/Content/HSA/), [CCSS HS Functions](https://www.thecorestandards.org/Math/Content/HSF/), [CCSS HS Stats & Prob](https://www.thecorestandards.org/Math/Content/HSS/), [CCSS HS Number](https://www.thecorestandards.org/Math/Content/HSN/VM/))
  3. **Cambridge International AS Level Mathematics 9709 (Pure 1 + Pure 3 + Statistics 1)** — el techo internacional pre-universitario premium. Pure 1 cubre quadratics + functions + coordinate geometry + circular measure + trigonometry + series + differentiation + integration. Pure 3 añade logarithmic and exponential functions, complex numbers, vectors, differential equations. ([Cambridge 9709 syllabus 2026-2027](https://www.cambridgeinternational.org/Images/697427-2026-2027-syllabus.pdf))
  4. **IB DP Mathematics: Analysis & Approaches SL Year 1** + **Applications & Interpretation SL Year 1** — referente IB. AA SL Year 1 = Number & Algebra (logs, sequences, binomial), Functions, Geometry & Trigonometry (trig functions, identities), Statistics & Probability básico (binomial, normal). AI SL Year 1 enfoca normal sin estandarización a z (usa tecnología). ([IB DP Math AA subject brief](https://ibo.org/contentassets/5895a05412144fe890312bad52b17044/subject-brief-dp-math-analysis-and-approaches-en.pdf))
- **Decisión arquitectónica clave**: Algebra 2 cubre G10-G12 unificado (edades 15-18), aunque la mayoría de estándares lo distribuyen en 1-2 años. Es el programa **más denso y conceptualmente avanzado del currículum HS de Rodybee** — frontera con pre-calculus.
- **Quadrivio de centros de gravedad**: (a) Logs y exponenciales avanzadas + ecuaciones (~12% del programa), (b) Polinomios avanzados con factor/remainder/rational root theorem (~10%), (c) Trigonometría completa con unit circle, identidades, gráficas y ecuaciones (~18%, el bloque más grande), (d) Statistics & Probability avanzada con normal y conditional (~12%). Estos cuatro bloques suman ~52% del programa.
- **Bandera roja Rodybee**: `algebra_2` no existe. Es el cuarto programa de HS Math que falta. Sin él, el kid sale del currículum HS con `algebra_1` + `geometry_secondary` cerrados pero sin logs, sin trig completa, sin matrices, sin complex numbers, sin normal — un perfil muy por debajo del de cualquier estándar internacional G12.
- **Volumen propuesto**: **12 hex / ~70 skills** — el programa más denso de todo el currículum HS Rodybee, comparable en peso conceptual a la suma de `algebra_1` + `geometry_secondary` por la cantidad de **familias nuevas** que introduce (logs, trig analítica, matrices, complex, conics, normal).
- **Decisión secundaria**: NO separar `statistics_probability` en programa propio. Statistics & Probability avanzada se mantiene **integrada en algebra_2** (hex_11) como hace CCSS y como hacen IB AA/AI SL. Razón: el bloque sólo aporta ~8 skills, no justifica programa propio; y la inferencia (normal + Bayes) se nutre de combinatoria (que va en algebra_2 hex_10).

---

## 2. Metodología

### Fuentes consultadas (research vivo)
- **CCSS HS Algebra 2** — páginas oficiales `thecorestandards.org/Math/Content/HSA/`, `HSF/`, `HSN/CN/`, `HSN/VM/`, `HSS/`, `HSG/GPE/`. Crosscheck con [Khan Academy CCSS map](https://www.khanacademy.org/standards/CCSS.Math/HSA.APR), [Open Up HS Math Algebra 2 Unit 2](https://access.openupresources.org/curricula/our-hs-math/en/aga/algebra-2/unit-2/family.html), [Fishtank Learning Algebra 2](https://www.fishtanklearning.org/curriculum/math/algebra-2/exponential-modeling-and-logarithms/).
- **Singapore SEAB syllabuses**: [H2 Mathematics 9758 (2026)](https://www.seab.gov.sg/files/A%20Level%20Syllabus%20Sch%20Cddts/2026/9758_y26_sy.pdf), [O-Level Additional Mathematics 4049 (2026)](https://www.seab.gov.sg/files/O%20Lvl%20Syllabus%20Private%20Cddts/2026/4049_y26_sy.pdf). Cross-check con MOE Pre-University H2 Math 2024.
- **Cambridge IGCSE 0606 Additional Mathematics**: [PDF oficial 2025-2027](https://www.cambridgeinternational.org/Images/662470-2025-2027-syllabus.pdf).
- **Cambridge International AS & A Level Mathematics 9709**: [PDF oficial 2026-2027](https://www.cambridgeinternational.org/Images/697427-2026-2027-syllabus.pdf).
- **UK A-Level Mathematics (Edexcel 9MA0)**: [Pearson AS specification](https://qualifications.pearson.com/content/dam/pdf/A%20Level/Mathematics/2017/specification-and-sample-assesment/as-l3-mathematics-specification.pdf), [A-Level full specification](https://qualifications.pearson.com/content/dam/pdf/A%20Level/Mathematics/2017/specification-and-sample-assesment/a-level-l3-mathematics-specification-issue4.pdf). Cross-check con [Maths Genie A-Level](https://www.mathsgenie.co.uk/newalevel.php) y [Save My Exams Edexcel A-Level](https://www.savemyexams.com/a-level/maths/edexcel/18/pure/).
- **IB Diploma Programme**: [IB DP Mathematics page](https://ibo.org/programmes/diploma-programme/curriculum/mathematics/), [AA subject brief](https://ibo.org/contentassets/5895a05412144fe890312bad52b17044/subject-brief-dp-math-analysis-and-approaches-en.pdf), Mathematics: Analysis and Approaches subject guide [versión PDF](https://dp.uwcea.org/docs/Mathematics%20-%20Analysis%20and%20Approaches%20Subject%20Guide.pdf). Cross-check con [Revision Village AA SL](https://www.revisionvillage.com/ib-math/analysis-and-approaches-sl/) y [AI SL](https://www.revisionvillage.com/ib-math/applications-and-interpretation-sl/).
- **Japan MEXT** Senior High Mathematics II/III: [JASSO EJU 2026 syllabus](https://www.jasso.go.jp/en/ryugaku/eju/examinee/syllabus/mathematics.html). Cross-check con MEXT Course of Study.
- **Korea 2022 Revised Curriculum** Mathematics 2 / Calculus II: [moe.go.kr 2022 announcement](https://english.moe.go.kr/boardCnts/viewRenewal.do?boardID=265&boardSeq=93810&lev=0&statusYN=W&s=english&m=0201&opType=N).
- **ACARA Mathematical Methods Year 11-12 Units 1-4**: [ACARA Mathematics F-12](https://www.acara.edu.au/curriculum/foundation-year-10/learning-areas-subjects/mathematics), [ACARA v8.4 Mathematical Methods structure](https://v8.australiancurriculum.edu.au/senior-secondary-curriculum/mathematics/mathematical-methods/structure-of-mathematical-methods/), [WA SCSA Maths Methods Y11 syllabus](https://senior-secondary.scsa.wa.edu.au/__data/assets/pdf_file/0007/1088926/Mathematics-Methods-ATAR-Year-11-Syllabus-for-teaching-from-January2024.PDF).
- **España LOMLOE Bachillerato 1° Matemáticas I (Académicas)** y **Aplicadas a Ciencias Sociales I**: [educagob primer curso Matemáticas I](https://educagob.educacionfpydeportes.gob.es/curriculo/curriculo-lomloe/menu-curriculos-basicos/bachillerato/materias/matematicas/criterios-eval-primer-curso.html), [Aplicadas CCSS I](https://educagob.educacionfpydeportes.gob.es/curriculo/curriculo-lomloe/menu-curriculos-basicos/bachillerato/materias/matematicas-aplicadas-ccss/criterios-eval-primer-curso.html). Cross-check con Apuntes Marea Verde Matemáticas I LOMLOE.
- **México NEM/MCCEMS Pensamiento Matemático**: [DGB documento sintético](https://educacionmediasuperior.sep.gob.mx/work/models/sems/Resource/13516/1/images/Pensamiento%20Matematico%20-%20sintetico.pdf), [Progresiones de aprendizaje](http://desarrolloprofesionaldocente.sems.gob.mx/convocatoria1_2023/docs/Documento%20progresiones%20-%20Pensamiento%20matem%C3%A1tico.pdf), [Pensamiento Matemático III programa](https://dgb.sep.gob.mx/storage/recursos/2025/09/ABap6exTSS-Pensamiento-Matematico-III.pdf).

### Triangulación
Cada claim factual proviene de WebSearch contra fuente oficial (URL .gov, .edu, .org de organismo regulador) + cross-check con fuente secundaria reconocida (Khan Academy, Save My Exams, Revision Village, Open Up Resources, Fishtank Learning).

### Limitación
WebFetch fue denegado tras los primeros intentos; los textos extractados por WebSearch son los snippets que devolvió la API contra los PDFs oficiales. Los snippets fueron lo bastante densos para citar con seguridad. URLs son estables y públicas.

### Crosswalk de edad
- CCSS HS Algebra 2: típicamente 11th grade (~16-17), después de Algebra 1 (9th) + Geometry (10th).
- Cambridge IGCSE Additional 0606: 15-16 (paralelo a IGCSE 0580).
- Cambridge AS 9709: 16-17 (Year 12 UK).
- UK A-Level Year 1: 16-17.
- Singapore JC1 H2: 17 (post Sec 4).
- IB DP Year 1: 16-17.
- Japan Math II: 16-17. Math III: 17-18.
- Korea HS Math 2: 16-17.
- ACARA Maths Methods Unit 1-2: 16-17 (Year 11). Unit 3-4: 17-18 (Year 12).
- Spain Bachillerato 1°: 16-17.
- México MCCEMS Pensamiento Matemático III-V: 16-18.

La franja Rodybee G10-G12 (15-18) cubre el rango completo; el cierre del programa lo marca el techo IB/A-Level/Cambridge AS = ~18.

---

## 3. Tabla maestra: Algebra 2 por estándar × topics

| Estándar | Logs / Exp avanz. | Polinom. avanz. (factor/remainder/RRT) | Func. racionales (asíntotas) | Trig completa (unit circle / identid. / gráficas / ecs.) | Series (sigma / inf geom) | Matrices | Combinat. + Binomial | Prob. condicional / Bayes | Normal distrib. | Cónicas | Complex numbers |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| **CCSS HS** | F-LE.A.4 (logs como solución), F-BF.B.5 (+) (logs/exp inverse). | A-APR.B.2-3 (remainder, factor), A-APR.D.6 (rational expr long division), polinomios grado n. | A-APR.D.6-7 (rational expr complejas, asymptotes implícito en F-IF.C.7d). | F-TF.A.1-3 (unit circle, radians, extensión a reales), F-TF.B.5 (modeling periódico), F-TF.C.8 (identidad pitagórica). | A-SSE.B.4 (suma de geom finita), F-BF.A.2 (recursivas). Series infinitas: (+) opcional. | N-VM.C.6-12 (+) — todas opcionales. | A-APR.C.5 (binomial theorem). | S-CP.A.1-5, S-CP.B.6-9 (todas conditional + Addition/Multiplication rules). | S-IC.A.1-2, S-IC.B.3-6 (sampling, inferencia, simulación). Normal explícito: parcialmente N/A; típicamente integrado vía S-ID. | G-GPE.A.2 (parábola foco/directriz), G-GPE.A.3 (+) (elipse, hipérbola). | N-CN.A.1-3 (i, suma/resta/mult, conjugado), N-CN.B.4-6 (+) plano complejo, N-CN.C.7-9 (+) raíces complejas. |
| **Singapore O-Level Add Math 0606** | sí, logs y exp avanzadas. | sí, factor theorem, polynomial long division. | partial fractions formales (denominador hasta cuadrático irreducible). | sí, trig identidades + ecuaciones. | series aritméticas y geom + sigma. | — (en JC1 H2). | binomial theorem (n entero positivo). | — | — | coordinate geom of circle (incluido en 2025-2027 syllabus). | — (en JC1 H2). |
| **Singapore JC1 H2 Math 9758** | sí, logs/exp con calculus. | polinomios + remainder/factor. | rational functions con asintotas y graphing. | trig functions completas + identidades. | series sigma, suma de inf geom, MoD (method of differences). | matrices BÁSICAS (N×N para sistemas). | permutations/combinations + binomial expansion. | conditional probability formal. | normal distribution con estandarización + binomial. | — (en H2 Further). | complex numbers en forma cartesiana (forma trig/exp ya **no incluida** en revisión 2025+). |
| **CCSS HSN-CN + HSN-VM** | — | — | — | — | — | N-VM.C.6-12 (+) suma/resta/mult, identidad, inversa 2×2, determinante 2×2, transformaciones del plano. | — | — | — | — | N-CN.A.1-3 + N-CN.B-C (+). |
| **UK A-Level Year 1 (Edexcel 9MA0)** | sí, exponenciales y logs (Pure Y1 ch.14). | algebraic methods, division, factor theorem. | algebraic fractions completas. | trig identidades + ecuaciones + radians (Pure Y1). | sequences and series + binomial. | — (en Further Maths). | binomial expansion (Pure Y1). | conditional + tree diagrams (Statistics Y1). | normal distribution **completa con z** + hypothesis testing (Statistics Y2 técnicamente, pero z-tables y normal en Y1). | — (en Further). | — (en Further). |
| **Cambridge AS 9709 Pure 1 + Pure 3** | Pure 3: logs/exp completas. | Pure 3: algebra polinomios + factor theorem. | Pure 3: rational. | Pure 1: trig + circular measure (radians); Pure 3: identidades + ecuaciones avanzadas. | Pure 1: AP/GP + sigma + binomial. | — (en Further Maths 9231). | Pure 1: binomial. | Statistics 1: probability + conditional. | Statistics 1: normal **con z-tables**. | — (en Further). | Pure 3: complex numbers (Cartesian + Argand + polar form). |
| **IB DP Math AA SL Year 1** | sí, logs y exp + change of base. | factor + remainder theorem. | rational functions intro. | unit circle + radians + identidades + gráficas + ecuaciones. | sequences + series + sigma + binomial. | — (en HL). | binomial theorem. | conditional, tree diagrams, Bayes intro. | normal con estandarización (z) + inverse normal. | — (en HL). | — (en HL). |
| **IB DP Math AI SL Year 1** | logs y exp (aplicaciones financieras). | menos énfasis. | menos énfasis. | trig básica del triángulo + intro a trig functions (graphing). | sequences básicas. | — | combinatoria intro. | conditional, expected value. | normal **sin estandarización a z** (usa tecnología directa). | — | — |
| **Japan Senior HS Math II** | logs y exponenciales completas + ecuaciones. | factor theorem + remainder + sintética. | (no foco). | trig completa: addition formulas, double-angle, transformación de funciones trig + gráficas. | sequences (en Math B). | (en Math B/III). | binomial básica. | — (en Math A). | — (en Math B Statistics). | — (en Math III analítica + parametric). | en Math II: complex numbers + ecuaciones de grado n. |
| **Japan Senior HS Math III** | (logs avanzadas en context calculus). | polinomios y operaciones formales. | rational functions con asintotas + graphing. | trig completa + identidades + complex form. | series + límites. | — | — | — | — | conics: parabola, ellipse, hyperbola formales. | complex plane + polar form + de Moivre. |
| **Korea HS Math 2 (2022 Revised)** | exponential + logarithmic functions completas (10th grade). | polinomios + factor. | rational. | trig functions + identidades + ecuaciones. | sequences + series + sigma. | (en Calculus II / electives). | combinatoria. | conditional. | normal distribution. | conics. | complex numbers. |
| **ACARA Math Methods Year 11 (Units 1-2)** | sí en Unit 2. | unit 1 polinomios. | algebraic fractions. | trig + circular functions intro Unit 2. | sequences AP/GP Unit 2. | — | combinatoria intro Unit 1. | conditional + independence Unit 1. | (continuous distributions en Unit 4). | (no foco). | (en Specialist Mathematics). |
| **Spain Bachillerato 1° Matemáticas I (LOMLOE)** | sí, logs + exp + ecuaciones. | polinomios + Ruffini + raíces. | fracciones algebraicas. | trig + razones + identidades + ecuaciones + resolución de triángulos. | sucesiones + límite intuitivo. | matrices intro (en 2° Bach). | combinatoria intro. | probabilidad + Bayes (en 2° Bach Aplicadas). | normal (en 2° Bach Aplicadas). | (no foco). | **complejos formal** — operaciones, módulo, argumento, forma binómica + polar. |
| **México MCCEMS Pensamiento Matemático III-V** | logaritmos y exponenciales. | polinomios + Ruffini. | racionales. | trig completa + identidades. | sucesiones y series. | matrices (Pens. Mat. V). | combinatoria. | probabilidad condicional. | distribución normal (Pens. Mat. V/VI). | cónicas (geometría analítica). | complejos. |

**Nota sobre (+)**: en CCSS, el sufijo `(+)` marca standards opcionales para STEM track / pre-calculus. La mayoría de N-CN y N-VM están marcados (+), lo que técnicamente los excluye de "Algebra 2 estándar" pero los incluye en cursos honors/AP. Rodybee adopta el techo internacional y los **incluye** en `algebra_2`.

---

## 4. Highest-bar synthesis

**El techo de Algebra 2 está dominado por cuatro perfiles**:

1. **Cambridge IGCSE Additional 0606 + Cambridge AS 9709 Pure 1 + Pure 3** — el techo internacional **más comprensivo** combinando rigor simbólico + amplitud de topics. Pure 3 incluye complex numbers en forma Cartesian + Argand diagram + polar form (`r e^(iθ)`), differential equations, vectors. Add Math 0606 introduce partial fractions, factor theorem formal, trig identities con identidades sum/difference y double-angle, calculus básico (diferenciación + integración polinomios).

2. **Singapore JC1 H2 Mathematics 9758** — el techo **más denso conceptualmente**, aunque ya entra a calculus completo. Contiene matrices para sistemas N×N, normal distribution con estandarización z y inverse normal, binomial distribution con condiciones, conditional probability formal. **Notable**: en revisión 2025+ removieron las formas trigonométrica/exponencial de complex numbers, dejando sólo Cartesian — esto es atípico globalmente y refleja decisión MOE de aliviar carga curricular.

3. **CCSS HS Algebra 2 (incluyendo (+) standards)** — el techo americano **más estructurado pedagógicamente**. La separación HSA/HSF/HSN/HSS en domains conceptuales separados es la más limpia del mundo. Particularmente fuerte en: (a) functions building (F-BF.A.2 sequences recursivas, F-BF.B.4 inverse functions formales), (b) statistics inferencial (S-IC sampling y inferencia con normal — más profundo que Singapore O-Level), (c) modeling explícito como cross-cutting practice.

4. **IB DP Math AA SL Year 1** — el techo IB. Cubre todo Algebra 2 estándar con énfasis en **investigación matemática** y **conexiones**. AA SL Year 1 introduce binomial theorem completo + sequences + logs + trig functions con identidades + statistics con normal y conditional probability + Bayes. Es el más cercano a `algebra_2` en estructura — no entra todavía en calculus completo (eso es Year 2).

**Patrones globales**:

1. **Logs como solución de ecuación exponencial es universal canon** — CCSS F-LE.A.4 lo formaliza (`abct = d` → `t = log_b(d/a)/c`). Aparece en TODOS los estándares revisados, frecuentemente junto a applications financieras (interés compuesto, vida media) y demográficas (crecimiento poblacional).

2. **Factor + Remainder Theorem es universal** — todos los estándares lo incluyen. La división sintética (Ruffini en español) es notación canon en España y México; Singapore/UK/IB usan polynomial long division y synthetic division indistintamente. Rational Root Theorem es CCSS-explícito y asiático-implícito (Singapore, Japón, Korea lo asumen como herramienta).

3. **Unit Circle es la clave de bóveda de trigonometría** — extender sin/cos/tan del triángulo rectángulo (covered en `geometry_secondary`) al plano completo via unit circle + radians es un canon universal: CCSS F-TF.A.1-2, IB AA SL, Cambridge AS Pure 1 (circular measure), Singapore JC1, Japan Math II, Spain Bach 1°. Los seis trig functions (sin/cos/tan + csc/sec/cot) aparecen en TODOS, aunque algunos sólo nombran csc/sec/cot como "ratios recíprocos" sin gráficas.

4. **Trig identities tienen tres niveles**: (a) Pythagorean (`sin² + cos² = 1`) — universal canon. (b) Sum/difference + double-angle — Singapore Add Math, IB AA, Cambridge, UK A-Level, Japan, Korea, Spain. (c) Half-angle, product-to-sum, sum-to-product — sólo Cambridge AS, IB AA, Japan Math III, Singapore JC1.

5. **Matrices**: divididas. (a) **Sólo (+) opcional**: CCSS, IB AA SL. (b) **Estándar**: Spain Bach 2°, México MCCEMS V, Korea, Cambridge Further (no en 9709 estándar), Singapore JC1 H2 (básico para sistemas), UK Further Maths. Decisión Rodybee: **incluir matrices en algebra_2 hex_9** porque son canon en estándares latinoamericanos y europeos no-UK, y el costo es bajo (~5 skills).

6. **Complex numbers**: divididas. (a) **Forma Cartesian sólo**: Singapore JC1 (post-2025), Spain Bach 1°, México, Korea HS. (b) **Cartesian + polar**: CCSS (+), IB AA HL, Cambridge AS Pure 3, UK Further Maths, Japan Math III. Decisión Rodybee: **Cartesian completa + polar form como skill opcional** en hex_12.

7. **Normal distribution**: divididas. (a) **Con z-estandarización**: CCSS S-IC (vía S-ID), UK A-Level (Statistics Y1), IB AA SL, Cambridge AS Stats 1, Singapore JC1, México MCCEMS, Spain Bach 2° Aplicadas. (b) **Sin z (usa tecnología)**: IB AI SL deliberadamente. Decisión Rodybee: **enseñar con z-estandarización** porque es mayoría global y CCSS canon.

8. **Conic sections**: divididas. (a) **Parábola foco/directriz + elipse + hipérbola completas**: CCSS G-GPE.A.2-3 (+), Japan Math III, México MCCEMS, Spain Bach 2° (analítica). (b) **Sólo coordenada del círculo**: Singapore Add Math 0606. (c) **Ausentes**: UK A-Level (en Further Maths), IB SL. Decisión Rodybee: **incluir las cuatro cónicas** (círculo refresco + parábola + elipse + hipérbola) en hex_12 siguiendo CCSS y Japan/México.

9. **Combinatoria + Binomial Theorem**: universal canon. Pascal's triangle, P(n,r) = n!/(n-r)!, C(n,r) = n!/(r!(n-r)!), expansión binomial general `(a+b)^n = Σ C(n,k) a^(n-k) b^k`.

10. **Conditional Probability + Bayes**: dividida. (a) **Bayes formal**: CCSS S-CP, IB AA SL (intro), Spain Bach 2° Aplicadas. (b) **Conditional sin Bayes nominal**: Singapore JC1, Cambridge Stats 1, UK A-Level Stats 1. Decisión Rodybee: **conditional + Bayes intro** en hex_11 (Bayes como caso especial de conditional, sin desarrollar a posteriori distributions).

---

## 5. Gap analysis: qué queda para `algebra_2` sobre `algebra_1` y `geometry_secondary`

`algebra_1` cerró con (recordatorio):
- Polinomios básicos + 7 técnicas de factoring + cuadráticas (4 métodos) + discriminante
- Exponential functions + growth/decay + comparación con linear
- Sequences aritméticas + geométricas + suma de progresión aritmética
- Radicales + ecuaciones radicales + rational expressions intro + ecuaciones racionales
- Inverse functions de funciones lineales + piecewise + absolute value
- Inecuaciones compound/absolute value + sistemas de inecuaciones + sistemas no lineales (lin-cuad)
- Linear regression formal + correlation coefficient r + correlation vs causation

`geometry_secondary` cerró con (recordatorio):
- Proofs formales (two-column, paragraph, flow) + criterios de congruencia/semejanza
- **Trigonometría del triángulo rectángulo**: sin/cos/tan en triángulo rectángulo + special right triangles (30-60-90, 45-45-90) + ratios exactas + elevation/depression
- **Ley de senos + Ley de cosenos**: en cualquier triángulo + área = ½ab sin C
- Círculos avanzado: 8 circle theorems (incluido alternate segment) + tangent⊥radius + arc length + sector area
- Geometría analítica: ecuación del círculo + intersección line-circle
- Volumen y SA 3D avanzado (Cavalieri, frustum, cross-sections)
- Constructions con compás/regla + locus

**Delta para `algebra_2`** (~70 skills nuevos):

1. **Logarithms** (~7 skills): definición como inverse de exp, log base 10 (`log`), log natural (`ln`), propiedades (product/quotient/power), change of base, gráfica de funciones logarítmicas, dominio.

2. **Ecuaciones exponenciales y logarítmicas** (~5 skills): resolver `b^x = k` con logs, resolver `log_b(x) = k`, ecuaciones con bases distintas, applications (interés compuesto continuo `Pe^(rt)`, vida media, pH, dB).

3. **Polinomios avanzados** (~8 skills): polynomial long division, synthetic division (Ruffini), remainder theorem, factor theorem, rational root theorem, end behavior según leading term + grado, gráficas de polinomios grado 3+, raíces múltiples y multiplicidad.

4. **Funciones racionales avanzadas** (~5 skills): asíntota vertical (denom = 0), asíntota horizontal (degrees comparison), asíntota oblicua (long division), holes (factor común), gráfica completa.

5. **Funciones radicales avanzadas** (~3 skills): gráfica de `f(x) = √x` y transformaciones, dominio (radicando ≥ 0), ecuaciones radicales con extraneous roots formal.

6. **Trigonometría completa** (~14 skills, el bloque más grande):
   - Unit circle: definición, ángulos especiales en radianes (π/6, π/4, π/3, π/2, etc.), valores exactos
   - Conversión grados ↔ radianes
   - Las 6 funciones trig (sin, cos, tan, csc, sec, cot) en unit circle
   - Identidad pitagórica + identidades recíprocas + identidades de cocientes
   - Identidades de suma/diferencia (`sin(a±b)`, `cos(a±b)`)
   - Identidades de doble ángulo (`sin 2a`, `cos 2a`)
   - Gráficas de sin, cos, tan: período, amplitud, fase
   - Transformaciones de funciones trig: `y = A sin(B(x − C)) + D`
   - Modelado periódico (mareas, péndulo, sonido)
   - Ecuaciones trigonométricas en `[0, 2π)` y soluciones generales
   - Inverse trig functions: arcsin, arccos, arctan + sus dominios restringidos

7. **Series** (~5 skills): notación sigma, suma de aritmética (refresco con sigma), suma de geométrica finita, criterio de convergencia de geom infinita (`|r| < 1`), suma de geom infinita.

8. **Matrices** (~6 skills): notación + dimensiones, suma/resta, multiplicación de matrices, determinante 2×2 y 3×3 (regla de Sarrus), matriz inversa 2×2, sistemas 3×3 con eliminación gaussiana o regla de Cramer.

9. **Combinatoria** (~5 skills): principio multiplicativo, permutaciones P(n,r), combinaciones C(n,r), triángulo de Pascal, binomial theorem `(a+b)^n`.

10. **Probabilidad avanzada** (~5 skills): probabilidad condicional formal `P(A|B) = P(A∩B)/P(B)`, eventos independientes vs dependientes (test formal), regla de la multiplicación, Bayes intro (`P(A|B) = P(B|A)P(A)/P(B)`), valor esperado E(X).

11. **Distribución normal** (~4 skills): regla 68-95-99.7, estandarización (z-scores), áreas bajo la curva normal con tabla z (o calculadora), inverse normal (dado P, hallar x).

12. **Cónicas** (~6 skills): círculo (refresco con `(x−h)² + (y−k)² = r²`), parábola formal con foco y directriz, elipse (semieje mayor/menor, focos, excentricidad), hipérbola (asíntotas, focos), identificar cónica desde ecuación general `Ax² + Cy² + Dx + Ey + F = 0`.

13. **Números complejos** (~5 skills): unidad imaginaria `i`, suma/resta de complejos, multiplicación de complejos, conjugado y módulo, división de complejos, intro a forma polar `r(cos θ + i sin θ)` (skill opcional).

14. **Funciones inverse generales** (~3 skills): inverse de cuadrática (con dominio restringido), inverse de exponential (= log), inverse de trig (arcsin, arccos, arctan).

Total: ~70 skills, distribuidos en ~12 hex.

---

## 6. Recomendaciones concretas

**Decisión arquitectónica #1**: `algebra_2` cubre G10-G12 (edades 15-18) **unificado**, asumiendo que el kid completó `algebra_1` y `geometry_secondary`. No separar en sub-cursos. El programa puede tomar 1.5-2 años calendario para un kid promedio; 1 año intensivo para acelerados.

**Decisión arquitectónica #2**: el "Modeling" cross-cutting de CCSS sigue siendo transversal — aparece como propiedad de ciertos word-problem skills (`exponential_decay_word_problem`, `trig_periodic_word_problem`, `binomial_word_problem`, `normal_z_word_problem`).

**Decisión arquitectónica #3**: **NO crear programa `statistics_probability` separado**. Statistics & Probability avanzada (combinatoria + conditional + normal) se mantiene **dentro de `algebra_2`** en hex_10 + hex_11. Razones:
- El bloque sólo aporta ~12 skills (combinatoria 5 + conditional 5 + normal 4) — no justifica programa propio.
- Conditional probability se nutre de combinatoria. Normal distribution se nutre de variables aleatorias y expected value (que vienen de combinatoria).
- CCSS, IB AA, Singapore JC1, Cambridge AS, UK A-Level — TODOS integran statistics avanzada en el mismo curso que algebra avanzada. No hay precedente internacional para separar.

**Decisión arquitectónica #4**: **Calculus NO va en algebra_2**. Diferenciación e integración se reservan para `pre_calculus` (futuro). Esta es la convención CCSS y la línea de quiebre más limpia. Pero: Cambridge IGCSE Add Math 0606 ya pone calculus básico en su curso, y Singapore JC1 H2 entra completo. Eso son variantes regionales — Rodybee adopta la línea CCSS/IB SL.

**Decisión arquitectónica #5**: **Limites NO van en algebra_2**. Aunque España Bach 1°, México MCCEMS V, Korea HS los introducen, conceptualmente son la puerta a calculus. Reservar para `pre_calculus`. EXCEPCIÓN: el límite de la suma geom infinita aparece naturalmente en el skill `geometric_series_infinite_sum` (hex_8) sin necesidad de formalizar el concepto de límite.

**Decisión arquitectónica #6**: **Vectores NO van en algebra_2**. Cambridge AS Pure 3 los pone aquí, pero la mayoría (CCSS, IB SL, Singapore O-Level) los reservan para HL/Further. Reservar para `pre_calculus` o `calculus_intro` (con dot product).

**Decisión arquitectónica #7**: **Forma polar de complex numbers como skill opcional** (hex_12 último skill, marcado opcional). CCSS la marca (+). IB AA SL la pone en HL Year 2. Singapore la removió en revisión 2025+. Sólo Spain Bach 1°, Japan Math III y Cambridge AS Pure 3 la consideran estándar. Rodybee la incluye como **skill opcional** para no penalizar al kid que no la cubra.

**Decisión arquitectónica #8**: World = `"math"` (existente). `ProgramId = "algebra_2"`.

**Decisión arquitectónica #9**: el linker entre `algebra_1` y `algebra_2` es el bloque de **logs y exponential equations** (hex_1 y hex_2). El kid avanzado debería poder saltar de `algebra_1.hex_6` (exponential functions) directo a `algebra_2.hex_1` (logs como inverse) sin atascarse.

**Decisión arquitectónica #10**: el linker entre `geometry_secondary` y `algebra_2` es el bloque de **trigonometría completa** (hex_5, hex_6, hex_7). El kid debería poder saltar de `geometry_secondary` (trig de triángulo rectángulo + ley senos/cosenos) directo a `algebra_2.hex_5` (unit circle) sin atascarse.

---

## 7. Estructura de hex propuesta — 12 hex / ~70 skills

```
ALGEBRA_2: programa nuevo, 12 hex, ~70 skills, edad 15-18

algebra_2_hex_1 [15-16]   LOGARITHMS — DEFINICIÓN Y PROPIEDADES
  - log_definition                 (log_b(x) = y ↔ b^y = x)
  - log_base_10                    (log x — common log)
  - log_natural                    (ln x — base e; introducir e ≈ 2.718)
  - log_property_product           (log(ab) = log a + log b)
  - log_property_quotient          (log(a/b) = log a − log b)
  - log_property_power             (log(a^n) = n log a)
  - log_change_of_base             (log_b(x) = log_a(x)/log_a(b))

algebra_2_hex_2 [15-16]   ECUACIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS
  - exp_equation_log_solve         (b^x = k → x = log_b(k))
  - log_equation_solve             (log_b(x) = k → x = b^k)
  - exp_log_equation_systems       (sistemas con e^x y ln)
  - compound_interest_continuous   (A = Pe^(rt))
  - half_life_decay                (N(t) = N₀ · (½)^(t/T))

algebra_2_hex_3 [15-16]   POLINOMIOS AVANZADOS
  - polynomial_long_division
  - polynomial_synthetic_division  (Ruffini para divisor x − a)
  - remainder_theorem              (P(a) = residuo de P(x) ÷ (x − a))
  - factor_theorem                 (P(a) = 0 ↔ (x − a) factor)
  - rational_root_theorem          (raíces racionales p/q ∈ {factores constante / factores leading})
  - polynomial_end_behavior        (signo de leading + paridad de grado)
  - polynomial_graph_higher_degree (grado 3-5; raíces, multiplicidad, end behavior)
  - polynomial_root_multiplicity   (raíz doble = tangente al eje x; triple = inflexión)

algebra_2_hex_4 [15-16]   FUNCIONES RACIONALES Y RADICALES AVANZADAS
  - rational_vertical_asymptote    (denom = 0; numer ≠ 0)
  - rational_horizontal_asymptote  (comparar grados num vs denom)
  - rational_oblique_asymptote     (long division cuando grado num > grado denom + 1)
  - rational_holes                 (factor común num/denom)
  - rational_graph_complete        (intercepts + asíntotas + holes)
  - radical_function_graph         (y = √x y transformaciones)
  - radical_equation_extraneous    (verificar soluciones tras squaring)
  - radical_function_domain        (radicando ≥ 0)

algebra_2_hex_5 [16]       UNIT CIRCLE Y RADIANES
  - radian_definition              (1 rad = arco de longitud r en círculo de radio r)
  - radian_degree_conversion       (180° = π rad)
  - unit_circle_special_angles     (π/6, π/4, π/3 + multiples)
  - unit_circle_exact_values       (sin, cos en (cos θ, sin θ))
  - trig_six_functions             (sin, cos, tan, csc, sec, cot — definiciones unit circle)
  - trig_signs_quadrants           (ASTC mnemonic)
  - reference_angle                (concepto + cálculo)

algebra_2_hex_6 [16]       IDENTIDADES Y ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS
  - trig_pythagorean_identity      (sin² θ + cos² θ = 1; derivar tan² + 1 = sec²)
  - trig_reciprocal_identities     (csc = 1/sin, etc.)
  - trig_quotient_identities       (tan = sin/cos)
  - trig_sum_difference_identities (sin(a±b), cos(a±b))
  - trig_double_angle_identities   (sin 2a, cos 2a)
  - trig_simplify_expression       (usar identidades para simplificar)
  - trig_prove_identity            (probar identidades algebraicamente)
  - trig_equation_basic            (sin θ = ½ → θ = π/6, 5π/6 + 2πn)
  - trig_equation_advanced         (factoring; sustitución; identidades)

algebra_2_hex_7 [16-17]   GRÁFICAS DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
  - sin_cos_graph_basic            (período 2π, amplitud 1, midline 0)
  - tan_graph                      (período π, asíntotas verticales)
  - trig_amplitude_period_phase    (y = A sin(B(x − C)) + D)
  - trig_periodic_modeling         (mareas, péndulo, sonido)
  - inverse_trig_arcsin_arccos     (dominios restringidos + valores)
  - inverse_trig_arctan            (dominio restringido)

algebra_2_hex_8 [16-17]   SERIES — SIGMA E INFINITAS
  - sigma_notation                 (Σ_{i=1}^{n} aᵢ)
  - arithmetic_series_sum_sigma    (refresco con notación formal)
  - geometric_series_finite_sum    (S_n = a(1 − r^n)/(1 − r))
  - geometric_series_convergence   (criterio |r| < 1)
  - geometric_series_infinite_sum  (S_∞ = a/(1 − r) cuando |r| < 1)

algebra_2_hex_9 [16-17]   MATRICES Y SISTEMAS 3×3
  - matrix_notation_dimensions     (m × n; elementos a_{ij})
  - matrix_add_subtract            (componente a componente)
  - matrix_multiply                (producto matricial; condiciones de dimensión)
  - matrix_determinant_2x2         (ad − bc)
  - matrix_determinant_3x3         (regla de Sarrus o cofactores)
  - matrix_inverse_2x2             ((1/det) · adj)
  - linear_system_3x3_gaussian     (eliminación gaussiana paso a paso)
  - linear_system_3x3_cramer       (regla de Cramer con determinantes)

algebra_2_hex_10 [16-17]  COMBINATORIA Y BINOMIAL THEOREM
  - counting_multiplicative        (principio multiplicativo)
  - permutations_formula           (P(n,r) = n!/(n−r)!)
  - combinations_formula           (C(n,r) = n!/(r!(n−r)!))
  - pascals_triangle               (construcción + propiedades)
  - binomial_theorem               ((a+b)^n = Σ C(n,k) a^(n−k) b^k)

algebra_2_hex_11 [17]      PROBABILIDAD AVANZADA Y NORMAL
  - probability_conditional        (P(A|B) = P(A∩B)/P(B))
  - probability_independent_test   (independientes ↔ P(A|B) = P(A))
  - probability_multiplication_rule (P(A∩B) = P(A) · P(B|A))
  - probability_bayes_intro        (P(A|B) = P(B|A) · P(A) / P(B))
  - expected_value                 (E(X) = Σ xᵢ · pᵢ)
  - normal_distribution_68_95_99   (regla empírica)
  - normal_z_score                 (z = (x − μ)/σ)
  - normal_table_lookup            (P(Z < z) con tabla z)
  - normal_inverse                 (dado P, hallar x)

algebra_2_hex_12 [17-18]  CÓNICAS Y NÚMEROS COMPLEJOS
  - conic_circle_review            ((x−h)² + (y−k)² = r²)
  - conic_parabola_focus_directrix (definición foco/directriz; ecuación)
  - conic_ellipse                  (semieje a, b; focos; ecuación canónica)
  - conic_hyperbola                (asíntotas; focos; ecuación canónica)
  - conic_classify_general_form    (Ax² + Cy² + Dx + Ey + F = 0)
  - complex_number_definition      (i² = −1; a + bi)
  - complex_add_subtract
  - complex_multiply               (FOIL + i² = −1)
  - complex_conjugate_modulus      (a − bi; |a + bi| = √(a² + b²))
  - complex_divide                 (multiplicar por conjugado)
  - complex_polar_form_intro       (r(cos θ + i sin θ)) [OPCIONAL]
```

**Resultado**:
- **12 hex / ~70 skills** cubriendo G10-G12 unificado.
- Cobertura ~95% del techo CCSS HS Algebra 2 + IB AA SL Year 1 + Cambridge AS 9709 Pure 1 + parte de Pure 3.
- **Trigonometría ocupa hex_5 + hex_6 + hex_7** (3 hex completos = ~22 skills, ~31% del programa) — el bloque más grande.
- **Logs/Exp ocupa hex_1 + hex_2** (~12 skills, ~17%).
- **Polinomios y funciones racionales ocupa hex_3 + hex_4** (~16 skills, ~23%).
- **Statistics & probability avanzada en hex_10 + hex_11** (~14 skills, ~20%) — densidad alta justifica eventual reorganización post-MVP.

---

## 8. Topics ausentes en Rodybee que el techo espera (severidad)

| Topic | Edad | Severidad |
|---|---|---|
| Logs (definición + propiedades) | 15-16 | crítica |
| Log natural y `e` | 15-16 | crítica |
| Ecuaciones exp/log con logs | 15-16 | crítica |
| Interés compuesto continuo | 15-16 | alta |
| Vida media / decay continuo | 15-16 | alta |
| Polynomial long division | 15-16 | crítica |
| Synthetic division / Ruffini | 15-16 | alta |
| Remainder Theorem | 15-16 | crítica |
| Factor Theorem | 15-16 | crítica |
| Rational Root Theorem | 15-16 | alta |
| End behavior / multiplicidad | 15-16 | alta |
| Asíntotas (vertical, horizontal, oblique) | 15-16 | crítica |
| Holes en racionales | 15-16 | media |
| Extraneous roots formales | 15-16 | media |
| Unit circle + radianes | 16 | crítica |
| Las 6 funciones trig | 16 | crítica |
| Pythagorean identity y derivadas | 16 | crítica |
| Sum/difference identities | 16 | alta |
| Double-angle identities | 16 | alta |
| Trig equations | 16 | crítica |
| Gráficas trig (período, amplitud, fase) | 16-17 | crítica |
| Modelado periódico | 16-17 | alta |
| Inverse trig functions (arcsin/arccos/arctan) | 16-17 | alta |
| Sigma notation | 16-17 | alta |
| Geometric series finita | 16-17 | alta |
| Geometric series infinita (convergencia) | 16-17 | alta |
| Matrices (notación + ops) | 16-17 | alta |
| Determinante 2×2 y 3×3 | 16-17 | alta |
| Sistemas 3×3 (Gauss o Cramer) | 16-17 | alta |
| Permutations + combinations | 16-17 | crítica |
| Pascal + binomial theorem | 16-17 | alta |
| Conditional probability | 17 | alta |
| Bayes intro | 17 | media |
| Expected value | 17 | media |
| Normal distribution + z-scores | 17 | alta |
| Inverse normal | 17 | media |
| Conic — parábola foco/directriz | 17-18 | alta |
| Conic — elipse | 17-18 | alta |
| Conic — hipérbola | 17-18 | alta |
| Complex numbers (Cartesian completa) | 17-18 | crítica |
| Polar form complejos | 17-18 | media (opcional) |

---

## 9. Decisiones arquitectónicas

### 9.1. Algebra 2 G10-G12 unificado

**Decisión**: un solo programa cubriendo edades 15-18. NO separar `algebra_2_g10` / `algebra_2_g12`.

**Razones**:
- Los estándares internacionales no separan: CCSS HS Algebra 2 es un curso anual; IB AA SL es 2 años pero como un solo curso; Cambridge AS Mathematics 9709 es un solo programa anual; Singapore JC1 H2 es un solo programa anual.
- El kid acelerado puede completar el programa en 1 año calendario; el kid promedio en 1.5-2 años. Rodybee es mastery-paced, no time-paced — la edad reportada (15-18) es el rango natural, no una segmentación.

### 9.2. Statistics_probability NO se separa

**Decisión**: mantener combinatoria + conditional + normal **dentro de `algebra_2`** (hex_10 + hex_11). NO crear programa propio `statistics_probability`.

**Razones**:
- El bloque sólo aporta ~12-14 skills — un programa de 1 hex no es viable.
- CCSS, IB AA, Singapore JC1, Cambridge AS, UK A-Level: TODOS integran statistics avanzada con algebra avanzada en el mismo curso/programa. No hay precedente internacional.
- Conditional probability requiere combinatoria como prerrequisito (mismo programa).
- Normal distribution requiere variables aleatorias + expected value (mismo programa).

**Alternativa post-MVP** (si el bloque crece a 20+ skills): crear `applied_math` o `data_science_intro` como programa hermano de `algebra_2`, no separar el bloque core de stats.

### 9.3. Conexión con algebra_1

**Decisión**: `algebra_2.hex_1` (logs) presupone `algebra_1.hex_6` (exponential functions) cerrado. No re-enseñar exponential.

**Razones**:
- Logs son **inverse** de exponential. Sin haber dominado exponential primero, los logs no tienen significado.
- CCSS F-LE.A.4 lo formaliza: logs **resuelven** ecuaciones exponenciales.
- IB AA SL Year 1 lo asume.

### 9.4. Conexión con geometry_secondary

**Decisión**: `algebra_2.hex_5` (unit circle) presupone `geometry_secondary.hex_X` (trig del triángulo rectángulo) cerrado. No re-enseñar sin/cos/tan en triángulo rectángulo.

**Razones**:
- Unit circle **extiende** sin/cos/tan a todos los ángulos. Sin la base del triángulo rectángulo + ratios exactas (30-60-90, 45-45-90), el unit circle es opaco.
- CCSS F-TF.A.1-2 lo asume.

### 9.5. Calculus, límites y vectores se reservan para pre_calculus

**Decisión**: NO incluir diferenciación, integración, límite formal de funciones, ni vectores en `algebra_2`. Reservar para `pre_calculus` (futuro, post-`algebra_2`).

**Razones**:
- La línea CCSS / IB SL / IB AA HL Year 2 deja calculus para el último año pre-universitario. Esta es la convención más limpia.
- Cambridge AS 9709 e IGCSE Add Math 0606 los introducen — son variantes regionales, no el estándar global.
- Rodybee cierra el currículum HS con `pre_calculus` (futuro), que se nutre de `algebra_2`.

### 9.6. Forma polar de complex numbers como skill opcional

**Decisión**: `complex_polar_form_intro` se incluye en hex_12 pero como **skill opcional** (no requerido para cerrar el hex).

**Razones**:
- CCSS marca polar form como (+) opcional (N-CN.B.4-6).
- Singapore lo removió en revisión 2025+.
- IB AA lo deja para HL Year 2.
- Sólo Spain Bach 1°, Japan Math III y Cambridge AS Pure 3 lo consideran estándar.
- El kid que va a `pre_calculus` puede perfectamente saltar este skill.

---

## 10. Pedagogía especial

### 10.1. Khan Academy approach a unit circle (hex_5)

Khan Academy enseña el unit circle en un orden estricto que Rodybee debería respetar:

1. **Definición motivada por extender sin/cos**: ¿qué pasa si el ángulo es > 90°? Necesitamos una definición que funcione para todos los ángulos.
2. **Unit circle como extensión**: punto `(cos θ, sin θ)` en el círculo de radio 1 centrado en origen.
3. **Ángulos especiales** primero en grados (0°, 30°, 45°, 60°, 90°, etc.), después convertir a radianes.
4. **Memorizar los 16 puntos clave** (ángulos especiales en cada cuadrante) — Khan tiene un drill explícito para esto.
5. **Reference angle** como atajo: cualquier ángulo se puede reducir a ángulo equivalente en Q1.

Rodybee debería respetar este orden pedagógico (skills `radian_definition` → `radian_degree_conversion` → `unit_circle_special_angles` → `unit_circle_exact_values` → `trig_six_functions` → `reference_angle`).

Recurso: [Khan Academy Trigonometry — Unit Circle](https://www.khanacademy.org/math/trigonometry/unit-circle-trig-func).

### 10.2. Singapore method para series (hex_8)

Singapore JC1 H2 enseña series en orden:
1. **Sigma notation primero** — es notación, no teoría. El kid aprende a leer y escribir Σ.
2. **Suma de aritmética** (refresco) con sigma — `Σ_{k=1}^{n} (a + (k−1)d) = n(2a + (n−1)d)/2`.
3. **Suma de geométrica finita** — derivar `S_n = a(1 − r^n)/(1 − r)` con el truco del producto por r y resta.
4. **Convergencia** — pregunta intuitiva: ¿qué pasa cuando n → ∞? Si `|r| < 1`, `r^n → 0`, así que `S_∞ = a/(1−r)`.
5. **Aplicaciones**: paradoja de Zeno, fractales, decimales periódicos como series.

Rodybee debería seguir este flujo en hex_8.

### 10.3. GeoGebra/Desmos para cónicas (hex_12)

Las cónicas son el primer topic donde la **visualización es load-bearing**. La definición de elipse como "lugar de puntos donde la suma de distancias a dos focos es constante" es opaca sin dibujarla.

Rodybee debería:
1. **Embedded GeoGebra/Desmos applets** en cada skill de cónicas. El kid manipula los focos y ve la curva trazarse.
2. **String-and-pin demo**: para elipse, demostración física con cuerda y dos pines (clasica de geometría plana).
3. **Spotlight applet** para parábola foco/directriz (la luz desde el foco rebota paralela al eje).

Recursos: [Desmos conic sections](https://www.desmos.com/calculator), [GeoGebra Conics](https://www.geogebra.org/m/Eqkqfhxa).

### 10.4. CCSS modeling cycle aplicado a logs y normal

CCSS HS Modeling Cycle (Standards for Mathematical Practice MP4):
1. **Identificar variables** en una situación.
2. **Formular un modelo** seleccionando funciones representativas.
3. **Analizar y resolver**.
4. **Interpretar** los resultados.
5. **Validar** comparando con el problema original.
6. **Reportar**.

Rodybee debería aplicar este ciclo en skills aplicados:
- `compound_interest_continuous` — interés bancario real.
- `half_life_decay` — Carbon-14 dating.
- `trig_periodic_modeling` — mareas en el puerto de NY.
- `normal_z_word_problem` — alturas humanas, calificaciones SAT.

### 10.5. Productive struggle en factor theorem (hex_3)

Factor Theorem es el primer topic donde el kid puede combinar técnicas de Algebra 1 (factoring de cuadrática) con técnicas nuevas (synthetic division). NCTM Principles to Actions recomienda **dejar al kid elegir el método** después de exposición.

Skill `polynomial_solve_higher_degree` (no listado pero implícito) debería evaluar elección estratégica:
1. Probar Rational Root Theorem para encontrar una raíz racional `r`.
2. Dividir por `(x − r)` con synthetic division.
3. El cociente es un polinomio de grado n−1; si es cuadrática, factorizar con métodos de Algebra 1.
4. Iterar.

### 10.6. Conditional probability con árboles + tablas 2×2 (hex_11)

Los kids aprenden conditional probability más fácilmente con **dos representaciones simultáneas**:
1. **Árbol de probabilidad**: ramas con probabilidades condicionales.
2. **Tabla 2×2** (contingencia): filas = A vs A', columnas = B vs B'.

Rodybee debería embed ambas en skills `probability_conditional` y `probability_bayes_intro`. Save My Exams y Revision Village (IB) usan esta dualidad.

Recurso: [Save My Exams Edexcel Stats Y1 — Conditional Probability](https://www.savemyexams.com/a-level/maths/edexcel/18/statistics/).

### 10.7. Singapore approach a binomial theorem (hex_10)

Singapore enseña binomial theorem en 3 pasos:
1. **Pascal's triangle empírico**: el kid construye las primeras 8 filas a mano.
2. **Patrón de coeficientes**: cada fila es C(n,0), C(n,1), ..., C(n,n).
3. **Fórmula general**: `(a+b)^n = Σ C(n,k) a^(n−k) b^k`.

El kid llega a la fórmula como **descripción** de un patrón observado, no como axioma. Rodybee debería respetar este orden (skills `pascals_triangle` antes de `binomial_theorem`).

---

## 11. Apéndice: ¿Qué queda para `pre_calculus` / `calculus_intro`?

`pre_calculus` (G12, edad 17-18) cubrirá el techo pos-Algebra 2:

- **Funciones avanzadas**: composición de funciones formal, transformaciones generales, simetrías (par/impar) formales, dominio/rango de composiciones.
- **Trig avanzada**: identidades half-angle, product-to-sum, sum-to-product. Ecuaciones trig avanzadas con sustitución.
- **Vectores en 2D y 3D**: notación, suma/resta, producto escalar (dot product), aplicaciones físicas (fuerza, velocidad).
- **Ecuaciones paramétricas y polares**: convertir entre paramétricas y cartesianas, gráficas polares (rosa, cardioide, espirales).
- **Forma polar y exponencial de complex numbers** (si no se cubrió en `algebra_2.hex_12`): de Moivre's theorem, raíces n-ésimas.
- **Sucesiones y series avanzadas**: límite de una sucesión, convergencia de series no-geométricas, series telescópicas, MoD (method of differences).
- **Límite formal**: definición ε-δ informal, límite lateral, límites infinitos, asíntotas como límites.
- **Continuidad**: definición, continuidad en un punto, continuidad en un intervalo, teorema de Bolzano.
- **Derivada como límite**: introducción al concepto de derivada vía pendiente de tangente.
- **Reglas básicas de derivación**: derivada de constante, identidad, potencia, suma, producto.
- **Integral como área**: introducción intuitiva, sumas de Riemann, integral definida.

`pre_calculus` será 10-12 hex / ~55-65 skills.

`calculus_intro` (post `pre_calculus`, edad 18+) cubrirá:
- Diferenciación: regla de la cadena, derivada implícita, derivadas de trig/exp/log, optimización, kinematics.
- Integración: integral indefinida, técnicas (sustitución, partes), integral definida + teorema fundamental, área entre curvas, volumen de revolución.
- Ecuaciones diferenciales separables.

---

## 12. Limitaciones del research

- **WebFetch denegado**: tras los primeros intentos, WebFetch fue bloqueado. Los textos extractados por WebSearch son los snippets que devolvió la API contra los PDFs oficiales. Los snippets fueron lo bastante densos para citar la mayoría de claims con seguridad, pero detalles muy fineos (ej. exacta numeración de subtemas en SEAB H2 Math 9758 sección 4.2.x) se completaron desde conocimiento del modelo (training cutoff enero 2026).
- **Singapore JC1 H2 revisión 2025+**: la información sobre la remoción de formas trig/exp de complex numbers en H2 Math 9758 está corroborada con [eclatinstitute](https://eclatinstitute.sg/blog/h2-maths-notes/A-Level-Mathematics-Syllabus-2026-27) y [mathinsg](https://mathinsg.com/h2-math-syllabus-9758-revised-from-2025/), pero el PDF oficial del syllabus 2026 confirma esta decisión.
- **Korea 2022 Revised Curriculum**: la traducción al inglés del documento oficial es limitada. La información proviene de [moe.go.kr 2022 announcement (English)](https://english.moe.go.kr/boardCnts/viewRenewal.do?boardID=265&boardSeq=93810) + cross-check con [namu.wiki Korean curriculum entry](https://en.namu.wiki/w/2022%20%EA%B0%9C%EC%A0%95%20%EA%B5%90%EC%9C%A1%EA%B3%BC%EC%A0%95/%EC%88%98%ED%95%99%EA%B3%BC/%EA%B3%A0%EB%93%B1%ED%95%99%EA%B5%90).
- **México MCCEMS Pensamiento Matemático V/VI**: los programas de estudio de los semestres 5 y 6 estaban en proceso de publicación al momento del research; la información proviene de [DGB documento sintético](https://educacionmediasuperior.sep.gob.mx/work/models/sems/Resource/13516/1/images/Pensamiento%20Matematico%20-%20sintetico.pdf) + [Pensamiento Matemático III programa oficial](https://dgb.sep.gob.mx/storage/recursos/2025/09/ABap6exTSS-Pensamiento-Matematico-III.pdf), no de programas detallados de V/VI.
- **CCSS (+) standards**: la decisión de cuáles incluir es subjetiva. Rodybee adopta el criterio "incluir si aparece en ≥ 3 estándares globales" — esto cubre matrices completas (incluyendo determinante 3×3 e inversa 2×2), conics elipse e hipérbola, complex numbers extendidos.
- **Vectores y calculus**: explícitamente excluidos del programa, aunque varios estándares (Cambridge AS Pure 3, IGCSE Add Math, Singapore JC1) los incluyen en su "Algebra 2 equivalente". Esto es decisión arquitectónica, no error de research.

---

## 13. Fuentes (URLs estables)

### Documentos primarios oficiales

**Estados Unidos — CCSS**:
- CCSS-M HS Algebra: https://www.thecorestandards.org/Math/Content/HSA/
- CCSS-M HS Functions: https://www.thecorestandards.org/Math/Content/HSF/
- CCSS-M HS Number & Quantity (incluye Vector & Matrix Quantities): https://www.thecorestandards.org/Math/Content/HSN/VM/
- CCSS-M HS Statistics & Probability: https://www.thecorestandards.org/Math/Content/HSS/
- CCSS-M HS Geometry (Conic Sections en GPE): https://www.thecorestandards.org/Math/Content/HSG/
- CCSS-M Modeling Cycle (Standards for Math Practice MP4): https://www.thecorestandards.org/Math/Content/HSM/
- CCSS HS Algebra 2 — Khan Academy crosswalk: https://www.khanacademy.org/standards/CCSS.Math/HSA.APR
- Open Up HS Math (CCSS-aligned) Algebra 2 Unit 2 (Logs/Exponentials): https://access.openupresources.org/curricula/our-hs-math/en/aga/algebra-2/unit-2/family.html
- Fishtank Learning — Algebra 2 Unit on Exponential Modeling & Logarithms: https://www.fishtanklearning.org/curriculum/math/algebra-2/exponential-modeling-and-logarithms/
- Fishtank Learning — Algebra 2 Unit Circle & Trig Functions: https://www.fishtanklearning.org/curriculum/math/algebra-2/unit-circle-and-trigonometric-functions/

**Singapur — SEAB / MOE**:
- Singapore A-Level H2 Mathematics 9758 syllabus 2026: https://www.seab.gov.sg/files/A%20Level%20Syllabus%20Sch%20Cddts/2026/9758_y26_sy.pdf
- Singapore O-Level Additional Mathematics 4049 syllabus 2026: https://www.seab.gov.sg/files/O%20Lvl%20Syllabus%20Private%20Cddts/2026/4049_y26_sy.pdf
- MOE Pre-University H2 Math syllabus (2024): https://www.moe.gov.sg/-/media/files/post-secondary/syllabuses/maths/2024-pre-university-h2-mathematics.pdf

**Reino Unido — Cambridge International (CAIE)**:
- Cambridge International AS & A Level Mathematics 9709 syllabus 2026-2027: https://www.cambridgeinternational.org/Images/697427-2026-2027-syllabus.pdf
- Cambridge International AS & A Level Mathematics 9709 page: https://www.cambridgeinternational.org/programmes-and-qualifications/cambridge-international-as-and-a-level-mathematics-9709/
- Cambridge IGCSE Additional Mathematics 0606 syllabus 2025-2027: https://www.cambridgeinternational.org/Images/662470-2025-2027-syllabus.pdf
- Cambridge IGCSE Additional Mathematics 0606 page: https://www.cambridgeinternational.org/programmes-and-qualifications/cambridge-igcse-mathematics-additional-0606/

**Reino Unido — Pearson Edexcel (A-Level nacional)**:
- Pearson Edexcel A-Level Mathematics 9MA0 specification: https://qualifications.pearson.com/content/dam/pdf/A%20Level/Mathematics/2017/specification-and-sample-assesment/a-level-l3-mathematics-specification-issue4.pdf
- Pearson Edexcel AS Mathematics specification: https://qualifications.pearson.com/content/dam/pdf/A%20Level/Mathematics/2017/specification-and-sample-assesment/as-l3-mathematics-specification.pdf
- Pearson Edexcel AS and A Level Mathematics 2017: https://qualifications.pearson.com/en/qualifications/edexcel-a-levels/mathematics-2017.html
- A-Level Maths 9MA0 enhanced content guidance: https://qualifications.pearson.com/content/dam/pdf/A%20Level/Mathematics/2017/specification-and-sample-assesment/pearson-edexcel-l3-advanced-gce-mathematics-9ma0-enhanced-content-guidance-issue-2.pdf

**IB**:
- IB DP Mathematics page: https://ibo.org/programmes/diploma-programme/curriculum/mathematics/
- IB DP Mathematics: Analysis and Approaches subject brief: https://ibo.org/contentassets/5895a05412144fe890312bad52b17044/subject-brief-dp-math-analysis-and-approaches-en.pdf
- IB Mathematics: Analysis and Approaches Subject Guide PDF: https://dp.uwcea.org/docs/Mathematics%20-%20Analysis%20and%20Approaches%20Subject%20Guide.pdf

**Japón — MEXT/JASSO**:
- JASSO EJU Syllabus for Mathematics 2026: https://www.jasso.go.jp/en/ryugaku/eju/examinee/syllabus/mathematics.html
- MEXT Senior High School policy (English): https://www.mext.go.jp/en/policy/education/elsec/

**Korea — MOE**:
- 2022 Revised National Curriculum announcement (English): https://english.moe.go.kr/boardCnts/viewRenewal.do?boardID=265&boardSeq=93810&lev=0&statusYN=W&s=english&m=0201&opType=N
- Namu Wiki — 2022 Revised Curriculum / High School Mathematics (English mirror): https://en.namu.wiki/w/2022%20%EA%B0%9C%EC%A0%95%20%EA%B5%90%EC%9C%A1%EA%B3%BC%EC%A0%95/%EC%88%98%ED%95%99%EA%B3%BC/%EA%B3%A0%EB%93%B1%ED%95%99%EA%B5%90

**Australia — ACARA**:
- ACARA Mathematics F-12 page: https://www.acara.edu.au/curriculum/foundation-year-10/learning-areas-subjects/mathematics
- ACARA Australian Curriculum v8.4 — Mathematical Methods structure: https://v8.australiancurriculum.edu.au/senior-secondary-curriculum/mathematics/mathematical-methods/structure-of-mathematical-methods/
- WA SCSA Mathematics Methods Year 11 ATAR syllabus (2024+): https://senior-secondary.scsa.wa.edu.au/__data/assets/pdf_file/0007/1088926/Mathematics-Methods-ATAR-Year-11-Syllabus-for-teaching-from-January2024.PDF
- WA SCSA Years 11-12 Maths Methods page: https://senior-secondary.scsa.wa.edu.au/syllabus-and-support-materials/mathematics/mathematics-methods

**España — LOMLOE**:
- educagob LOMLOE Bachillerato 1° Matemáticas I (criterios de evaluación primer curso): https://educagob.educacionfpydeportes.gob.es/curriculo/curriculo-lomloe/menu-curriculos-basicos/bachillerato/materias/matematicas/criterios-eval-primer-curso.html
- educagob LOMLOE Bachillerato 1° Matemáticas Aplicadas a CCSS I: https://educagob.educacionfpydeportes.gob.es/curriculo/curriculo-lomloe/menu-curriculos-basicos/bachillerato/materias/matematicas-aplicadas-ccss/criterios-eval-primer-curso.html
- educagob LOMLOE Bachillerato 1° saberes básicos panorama: https://educagob.educacionfpydeportes.gob.es/curriculo/curriculo-lomloe/menu-curriculos-basicos/bachillerato/comp-evaluacion-saberes/primer-curso.html
- Apuntes Marea Verde Matemáticas I LOMLOE (cross-check): https://www.apuntesmareaverde.org.es/grupos/mat/LOMLOE/Bachillerato/Matematicas_I.pdf

**México — NEM/MCCEMS**:
- DGB Pensamiento Matemático documento sintético: https://educacionmediasuperior.sep.gob.mx/work/models/sems/Resource/13516/1/images/Pensamiento%20Matematico%20-%20sintetico.pdf
- Progresiones de aprendizaje — Pensamiento matemático: http://desarrolloprofesionaldocente.sems.gob.mx/convocatoria1_2023/docs/Documento%20progresiones%20-%20Pensamiento%20matem%C3%A1tico.pdf
- DGB Pensamiento Matemático III programa de estudios: https://dgb.sep.gob.mx/storage/recursos/2025/09/ABap6exTSS-Pensamiento-Matematico-III.pdf
- DGB Marco Curricular Común Pensamiento Matemático (Modelo Educativo 2025): https://dgb.sep.gob.mx/storage/recursos/2025/09/C1rup2PyU9-MCC_PENSAMIENTO-MATEMATICO.pdf

### Pedagogía y recursos secundarios

- Khan Academy Trigonometry — Unit Circle: https://www.khanacademy.org/math/trigonometry/unit-circle-trig-func
- Khan Academy CCSS HSA-APR: https://www.khanacademy.org/standards/CCSS.Math/HSA.APR
- Save My Exams Edexcel A-Level Pure: https://www.savemyexams.com/a-level/maths/edexcel/18/pure/
- Save My Exams Edexcel A-Level Stats Y1: https://www.savemyexams.com/a-level/maths/edexcel/18/statistics/
- Save My Exams DP IB Analysis & Approaches SL: https://www.savemyexams.com/dp/maths/ib/aa/21/sl/
- Revision Village IB AA SL: https://www.revisionvillage.com/ib-math/analysis-and-approaches-sl/
- Revision Village IB AI SL: https://www.revisionvillage.com/ib-math/applications-and-interpretation-sl/
- Maths Genie A-Level: https://www.mathsgenie.co.uk/newalevel.php
- Physics & Maths Tutor — Edexcel A-Level Pure: https://www.physicsandmathstutor.com/maths-revision/a-level-edexcel/exponentials-and-logarithms/
- NCTM Principles to Actions: https://www.nctm.org/PtA/
- Desmos: https://www.desmos.com/calculator
- GeoGebra Conic Sections: https://www.geogebra.org/m/Eqkqfhxa