Linear Algebra — the second pillar of university math, calibrated to MIT 18.06 (Strang) + Berkeley Math 54 + Stanford + Cambridge Tripos + Tokyo + UNAM + Princeton.

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Matrix algebra completa: notación m × n, producto matricial en 4 vistas (entry, column, row, outer-product), transpuesta + (AB)^T = B^T A^T + simétricas/antisimétricas, inversa con Gauss-Jordan, matrices especiales (identidad, diagonal, triangulares, permutación), matrices por bloques. Sistemas lineales formales: forma matricial Ax = b + matriz aumentada + interpretación geométrica + 3 operaciones elementales + REF + RREF + algoritmo Gaussiano + Gauss-Jordan + variables libres + clasificación de Rouché-Frobenius (única / infinitas / inconsistente con rangos). Determinantes formales: definición vía cofactores + propiedades (multilineal, alternante, det(I)=1) + det(AB) = det(A)·det(B) + det(A^T) = det(A) + cómputo eficiente vía reducción a triangular + regla de Cramer general + interpretación geométrica como volumen orientado.

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Abstracción a vector spaces formales: 8 axiomas + ejemplos canónicos (ℝⁿ, P_n, M_{m×n}, C[a,b], soluciones de ODE lineal homogénea), subspaces con three-step test, span y combinaciones lineales, operaciones de subspaces (intersección, suma, suma directa ⊕, fórmula de Grassmann), independencia lineal formal con Wronskiano para funciones, espacios columna/fila/núcleo de una matriz. Bases, dimensión y coordenadas: definición de base como LI + spanning, teorema de Steinitz para dimensión bien-definida, extracción/extensión de bases, coordenadas en una base [v]_B, matriz de cambio de base P y su inversa. Transformaciones lineales: definición T(αu+βv)=αT(u)+βT(v), kernel/image como subspaces, teorema rank-nullity, caracterización de inyectividad y suryectividad, isomorfismo por dimensión, matriz [T]_B^B' con columnas T(b_i), composición = producto matricial, similitud A' = P^(-1)AP. Inner product spaces: 3 axiomas, ejemplos (dot product, integral, Frobenius), Cauchy-Schwarz y triangular, sets ortogonales/ortonormales, complemento ortogonal W^⊥ con V = W ⊕ W^⊥, algoritmo de Gram-Schmidt formal, fórmula de proyección ortogonal con matriz P_W = A(A^TA)^(-1)A^T, mínimos cuadrados con ecuaciones normales A^TA x̂ = A^Tb.

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Spectral theory: definición Av = λv, polinomio característico p_A(λ) = det(A − λI), multiplicidad algebraica vs geométrica con m_g ≤ m_a, invariantes (trace = Σλ, det = Πλ), eigenvectores de eigenvalues distintos son LI, conjugates complejos para matrices reales, cómputo concreto en 2x2 y 3x3. Diagonalización: criterio (n eigenvectores LI ⇔ m_g = m_a ∀λ), procedimiento A = PDP^(-1), aplicación a potencias A^k = PD^kP^(-1), matrices defectivas (preview de Jordan futuro), teorema espectral real (matrices simétricas tienen eigenvalues reales y eigenvectores ortogonales) con A = QΛQ^T, intro ligero a Hermitianas. Quadratic forms: Q(x) = x^T A x, clasificación por signos de eigenvalues (positiva/negativa definida, indefinida, semidefinida), criterio de Sylvester de menores principales líderes, ley de inercia (intro), link al test 2da derivada multivariable de calculus_2. Decomposiciones LU y QR: A = LU vía Gauss + L triangular inf unitaria + U triangular sup, PA = LU con permutación, solve Ly = b + Ux = y, QR vía Gram-Schmidt, mínimos cuadrados estable vía R^(-1)Q^T b, decisión estratégica LU vs QR vs spectral. SVD y rango bajo: σ_i = √(eigenvalues de A^TA), A = UΣV^T, interpretación geométrica (rotación + escalamiento + rotación), construcción concreta vía A^TA y AA^T, Eckart-Young para rank-k aproximación, compresión de imágenes, pseudo-inversa A^+ = VΣ^+U^T. Aplicaciones: cadenas de Markov + estado estacionario como eigenvector con λ=1 + Perron-Frobenius cualitativo, PCA como eigenvectores de la covarianza + PCA vía SVD, PageRank como eigenvector dominante, regresión lineal múltiple en forma matricial β̂ = (X^TX)^(-1)X^Ty, ajuste polinomial, decisión final ¿qué descomposición para qué problema?