# Benchmark de estándares mundiales — `linear_algebra`
> **Programa**: `linear_algebra` — Álgebra Lineal (computacional + abstracta)
> **Audiencia**: estudiantes de 18–20 años (freshman/sophomore universitario; primer y segundo año de licenciatura en matemáticas, ingeniería, física, ciencias de la computación, ciencia de datos, economía cuantitativa).
> **Estado al 2026-04-30**: programa nuevo desde cero. Tercer programa universitario de Rodybee, después de `calculus_intro` y `calculus_2`. Prereqs directos: `algebra_2` (matrices básicas, determinantes 2×2/3×3, sistemas con eliminación), `pre_calculus` (vectores 2D/3D), `calculus_intro` (continuidad, derivada, integral — necesarias para inner product de funciones, Wronskiano, espacios funcionales). NO depende de `calculus_2` (puede tomarse en paralelo).
> **Fuentes tier-1 (universitarias)**: MIT 18.06 Linear Algebra (Strang) — OCW Spring 2010 + Strang's *Introduction to Linear Algebra* 5e/6e; UC Berkeley Math 54 (Linear Algebra + ODEs, mitad LA); Stanford MATH 51 (Multivariable + LinAlg core) + MATH 113 (Linear Algebra and Matrix Theory); Princeton MATH 202 (computational) + MATH 204 (proof-based, Axler); Cambridge Mathematical Tripos Part IA Vectors and Matrices + Part IB Linear Algebra; University of Tokyo 線形代数 I + II (Saito Toshio textbook); UNAM Álgebra Lineal I + II (Friedberg / Hoffman-Kunze textbooks, Facultad de Ciencias).
> **Fuentes tier-2 (HS / contexto / breadth)**: AP Calculus / IB Math AA HL / Cambridge A-level (NO cubren álgebra lineal formal); Singapore JC2 H2 9758 (matrices 2×2 introductorias y sistemas — insuficiente como benchmark); ITAM Álgebra Lineal I/II + Tec de Monterrey Álgebra Lineal (referencia regional Latinoamérica); LSE MA100 + Imperial College M1GLA (referencia aplicada UK).
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## 1. Qué es `linear_algebra` en Rodybee
`linear_algebra` es el **tercer programa universitario** de la plataforma Rodybee. Cubre, al techo internacional, el cuerpo conceptual que en la academia se conoce como **Linear Algebra**, **Matrix Theory**, **Álgebra Lineal**, o **線形代数**, en su versión completa (computacional + abstracta) que típicamente se reparte en uno o dos semestres en la licenciatura de un programa STEM serio.
Concretamente, `linear_algebra` cubre seis grandes bloques:
1. **Matrices y sistemas lineales** (*computational core*): repaso de operaciones matriciales (suma, producto, transpuesta, inversa) ya conocidas desde `algebra_2` pero ahora bajo la lente de transformación lineal; sistemas de ecuaciones lineales tratados con eliminación gaussiana, forma escalonada (REF), forma escalonada reducida (RREF), eliminación de Gauss-Jordan, matriz aumentada, variables libres, soluciones paramétricas, sistemas consistentes vs inconsistentes; teorema de Rouché-Frobenius (tradición hispana) / equivalente rank-nullity (tradición anglosajona); rango, nulidad y su relación con soluciones.
2. **Determinantes formales**: definición rigurosa (vía permutaciones para Tokyo/UNAM/Cambridge IB; vía expansión por cofactores para MIT 18.06/Stanford/Berkeley; vía caracterización por multilinealidad para Axler/Princeton 204); propiedades (multilinealidad, alternancia, determinante de un producto $\det(AB) = \det A \det B$, determinante de la transpuesta, determinante e inversa $A^{-1} = \frac{1}{\det A} \text{adj}(A)$); regla de Cramer formalizada; determinante como volumen orientado (Jacobiano discreto).
3. **Espacios vectoriales abstractos** (*la "real" álgebra lineal*): los 8 axiomas de espacio vectorial sobre un cuerpo $\mathbb{F}$ (en Rodybee restringimos a $\mathbb{R}$ con un guiño a $\mathbb{C}$); ejemplos canónicos ($\mathbb{R}^n$, $P_n(\mathbb{R})$, $M_{m\times n}(\mathbb{R})$, $C[a,b]$, espacios de soluciones de ODE lineales homogéneas); subespacios y test de tres pasos; suma, intersección, suma directa $U \oplus V$; combinaciones lineales y span; independencia lineal con definición formal; Wronskiano para funciones; bases y dimensión; teorema de reemplazo de Steinitz; dimensión bien definida; coordenadas en una base; matriz de cambio de base.
4. **Transformaciones lineales y matriz de una transformación**: definición, ejemplos canónicos (rotación, reflexión, proyección, derivada $D: P_n \to P_{n-1}$, integral $T: C[a,b] \to \mathbb{R}$); kernel (núcleo) e imagen; teorema rank-nullity $\dim(\ker T) + \dim(\text{im } T) = \dim V$; isomorfismos y caracterización por dimensión; matriz $[T]_B^{B'}$ de una transformación con respecto a bases; cambio de base afecta a la matriz por similitud $A' = P^{-1}AP$.
5. **Espacios con producto interno y ortogonalidad**: producto interno (axiomas: positividad, simetría, linealidad); ejemplos (dot product en $\mathbb{R}^n$; integral inner product $\langle f,g\rangle = \int_a^b f(x)g(x)\,dx$ en $C[a,b]$); norma inducida; desigualdad de Cauchy-Schwarz; desigualdad triangular; ángulos y ortogonalidad; conjuntos ortogonales y ortonormales; complemento ortogonal $W^\perp$; descomposición $V = W \oplus W^\perp$; proceso de **Gram-Schmidt**; proyección ortogonal sobre un subespacio (fórmula con base ortonormal y matriz de proyección $P = A(A^TA)^{-1}A^T$); aplicación canónica: **mínimos cuadrados** vía ecuaciones normales $A^TA\hat{x} = A^Tb$.
6. **Teoría espectral y formas cuadráticas + descomposiciones + aplicaciones**: eigenvalores y eigenvectores; polinomio característico $\det(A - \lambda I) = 0$; multiplicidad algebraica vs geométrica; criterio de diagonalización (n eigenvectores linealmente independientes); diagonalización $A = PDP^{-1}$ y aplicación a potencias $A^k$; matrices similares e invariantes (det, traza, espectro, polinomio característico); teorema espectral real (matrices simétricas → diagonalización ortogonal $A = Q\Lambda Q^T$); intro al teorema espectral complejo (Hermitianas) opcional; formas cuadráticas, clasificación (definida positiva, negativa, indefinida, semidefinida) por signos de eigenvalores y por menores principales; ley de inercia de Sylvester (intro); descomposiciones LU (con permutación, $PA = LU$), QR (vía Gram-Schmidt aplicado a columnas de $A$), espectral, **SVD** $A = U\Sigma V^T$ con interpretación geométrica y aproximación de rango bajo; aplicaciones (mínimos cuadrados ya cubierto, **PCA** intro, **cadenas de Markov** intro con eigenvalor 1 dominante, **PageRank** intro, **compresión de imágenes** vía SVD truncada).
**Edad de entrada**: 18 años (freshman universitario; en algunos sistemas — UNAM, Tokyo, Cambridge — aparece desde primer cuatrimestre; en MIT 18.06 y Berkeley es típicamente del tercer/cuarto semestre, edad 19). **Edad de salida**: 20 años (sophomore terminado). **Duración estimada**: 18–24 meses de práctica diaria de 12–18 min hasta mastery completa, levemente menor que `calculus_2` (que es 24–32 meses) porque el corpus es algorítmicamente más estructurado: una vez que el estudiante domina la dualidad matriz↔transformación lineal, la mayor parte de los teoremas posteriores son consecuencia mecánica de esa dualidad.
### 1.1 Frontera explícita: programa íntegramente universitario
> **Nota crítica**: igual que `calculus_2`, `linear_algebra` es **íntegramente universitario**. Los grandes sistemas de bachillerato internacional **NO cubren** este material a profundidad.
- **AP Calculus AB/BC** (College Board, US): cero contenido de álgebra lineal. La College Board explícitamente clasifica `Linear Algebra` como curso post-AP, no AP Exam. Si una preparatoria ofrece álgebra lineal, es a través de iniciativas locales (dual enrollment con community college).
- **AP Pre-Calculus** (College Board, US, vigente desde 2023): introduce matrices muy ligero, multiplicación 2×2 y representación de transformaciones. **NO** cubre RREF formal, espacios vectoriales abstractos, eigenvalores ni proyecciones.
- **IB Mathematics: Analysis and Approaches HL** (IBO, Y2): syllabus HL tiene matrices 2×2 con determinante e inversa, transformaciones lineales geométricas básicas (rotación, reflexión, dilatación) y algún sistema 2×2/3×3, pero **NO** cubre espacios vectoriales abstractos, ni eigenvalores, ni Gram-Schmidt, ni mínimos cuadrados, ni descomposiciones.
- **Cambridge International A2 Mathematics 9709 + Further Mathematics 9231**: Further 9231 (Further Pure 1 + 2) introduce matrices 3×3, determinante, inversa, eigenvalores y eigenvectores básicos sobre $\mathbb{R}^2$ y $\mathbb{R}^3$, diagonalización de matrices simétricas pequeñas — el techo HS más alto de cualquier sistema mundial en linear algebra. **Aún así NO cubre** espacios vectoriales abstractos, transformaciones lineales formales sobre espacios funcionales, Gram-Schmidt completo, ni SVD.
- **Singapore H2 Mathematics 9758** (JC2): matrices 2×2 y sistemas por inversa o eliminación, intro muy ligero. **Singapore H3 9820**: optativo, puede tocar matrices más profundo, pero no es sistemático. **No es benchmark suficiente**.
- **MEXT Math C** (Japón): vectores y operaciones con matrices intro 2D/3D (similar a AP Pre-Calculus). Linear algebra rigurosa empieza en 大学一年生 (primer año de universidad) con 線形代数 I.
- **KICE (Corea), Vietnam, Brasil ENEM**: techo HS sin álgebra lineal formal. La introducen hasta universidad.
**Implicación arquitectónica**: igual que en `calculus_2`, la decisión de cobertura para `linear_algebra` se toma **únicamente** contra los syllabi universitarios. El benchmark es: **MIT 18.06 + UC Berkeley Math 54 (LA half) + Stanford MATH 51 + Stanford MATH 113 + Princeton MATH 202/204 + UNAM Álgebra Lineal I/II + Cambridge Tripos IA Vectors and Matrices + IB Linear Algebra + Tokyo 線形代数 I/II**. Estos nueve cursos convergen notablemente en el corpus técnico, y divergen en una sola gran decisión: **matrix-first vs vector-space-first**. La sección 6 (Decisiones clave) la trata frontalmente.
### 1.2 Por qué `linear_algebra` es radicalmente distinto a `calculus_2`
Aunque ambos programas son freshman/sophomore universitario, son **conceptualmente distintos** y deben modelarse como programas independientes con su propia lógica:
| Dimensión | `calculus_2` | `linear_algebra` |
|---|---|---|
| Objeto matemático central | función real-valuada de varias variables, $f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$, $\mathbf{F}: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$ | espacio vectorial abstracto $V$ + transformación lineal $T: V \to W$ |
| Operación clave | derivada parcial, integral múltiple, gradiente, divergencia, rotacional | combinación lineal, producto matriz-vector, descomposición de un vector en una base |
| Naturaleza del razonamiento | **continuo, geométrico-analítico**: convergencia, integrales, teoremas de Stokes/Green/Gauss; "el campo conserva flujo" | **algebraico-estructural**: axiomas, dimensión finita vs infinita, isomorfismos; "este conjunto es base ⇔ es independiente y genera" |
| Estilo de demostración | $\epsilon$-$\delta$ multivariable, parametrización de curvas/superficies, FTC en versiones generalizadas | manipulación matricial, inducción sobre dimensión, paso a coordenadas y vuelta |
| Aplicación canónica | física (mecánica, electromagnetismo via Maxwell), ingeniería de fluidos | ML/data science (PCA, regresión, redes neuronales), gráficos por computadora, criptografía, optimización |
Por eso `linear_algebra` necesita su propio benchmark y su propia secuencia de hex. El usuario no debería poder "saltar de `calculus_2` a `linear_algebra`" sin pasar placement: son lógicas distintas. (En la práctica, el placement test incluirá secciones específicas de matrices y sistemas para detectar si el alumno ya hizo álgebra lineal en otro contexto.)
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## 2. Tabla comparativa por currículum
Las columnas son las grandes decisiones arquitectónicas. Las filas son los currículos benchmark. La intención es ver **dónde converge el techo internacional** y dónde diverge.
| Currículum | Edad típica | Estilo dominante | Computación vs Abstracción | LU | QR | Spectral (real sym) | SVD | Eigen demostrado o computado | Texto base |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| **MIT 18.06** (Strang) | 18–19 | matrix-first puro | 70/30 | ✓ central | ✓ | ✓ | ✓ central | computado + intuición | Strang, *Introduction to LA* 6e |
| **UC Berkeley Math 54** (LA half) | 18–19 | matrix-first | 60/40 | ✓ | ✓ | ✓ | ◐ (intro) | ambos | Lay 5e o Strang |
| **Stanford MATH 51** | 18 | matrix-first geométrico | 65/35 | ◐ | — | ✓ | — | computado | Stanford SUMO notes |
| **Stanford MATH 113** | 19 | vector-space-first | 30/70 | — | ✓ | ✓ | ◐ | demostrado | Axler, *Linear Algebra Done Right* |
| **Princeton MATH 202** | 18 | matrix-first | 65/35 | ✓ | ✓ | ✓ | ◐ | computado | Lay |
| **Princeton MATH 204** | 19 | vector-space-first | 25/75 | — | — | ✓ | — | demostrado riguroso | Axler |
| **Cambridge IA Vectors & Matrices** | 18 | matrix-first con rigor | 50/50 | ✓ | — | ✓ | — | demostrado parcial | Cambridge lecture notes |
| **Cambridge IB Linear Algebra** | 19 | vector-space-first abstracto | 20/80 | — | — | ✓ | — | demostrado completo | Hoffman-Kunze o lecture notes |
| **Tokyo 線形代数 I** | 18 | matrix-first computacional | 70/30 | ✓ | — | ✓ | — | computado | Saito Toshio, *線形代数学* |
| **Tokyo 線形代数 II** | 19 | vector-space-first | 30/70 | — | ✓ | ✓ | ◐ | demostrado | Saito + Sasaki |
| **UNAM Álgebra Lineal I** | 18–19 | vector-space-first formal | 35/65 | ◐ | — | ✓ | — | demostrado | Friedberg-Insel-Spence |
| **UNAM Álgebra Lineal II** | 19–20 | vector-space-first muy abstracto | 15/85 | — | — | ✓ | ◐ | demostrado completo | Hoffman-Kunze + Friedberg |
| **ITAM Álgebra Lineal I+II** | 18–19 | hibrido, comienza matricial | 50/50 | ✓ | ✓ | ✓ | ◐ | ambos | Friedberg |
| **Tec MTY Álgebra Lineal** | 18–19 | matrix-first aplicado | 70/30 | ✓ | ◐ | ✓ | — | computado | Lay 5e |
| **LSE MA100** (LA portion) | 18 | matrix-first aplicado a economía | 75/25 | ✓ | — | ✓ | — | computado | Anthony-Harvey |
| **Imperial M1GLA** | 18 | matrix-first físico-ingenieril | 65/35 | ✓ | ✓ | ✓ | ◐ | computado | Anton-Rorres |
**Lectura clave**:
- **Dos grandes "escuelas"** dividen el mundo:
- **Escuela matrix-first** (Strang / Lay): MIT 18.06, UCB Math 54, Stanford MATH 51, Princeton 202, Tokyo I, Tec MTY, LSE, Imperial. Empiezan con sistemas y matrices concretas, definen espacios vectoriales más adelante usando $\mathbb{R}^n$ como prototipo, y dejan el formalismo abstracto al final (o a un curso secuela). Pedagogía: visualizar antes que axiomatizar. **Ideología**: "linear algebra is about systems of linear equations".
- **Escuela vector-space-first** (Axler / Halmos / Hoffman-Kunze): Stanford 113, Princeton 204, Cambridge IB, UNAM I+II, Tokyo II. Empiezan con la definición axiomática de espacio vectorial, transformaciones lineales sin coordenadas, y reducen las matrices a una representación entre muchas. Pedagogía: la estructura primero, el cómputo después. **Ideología**: "linear algebra is about vector spaces and the linear maps between them" (Axler).
- **MIT 18.06 + Strang** es probablemente el curso de álgebra lineal más influyente del mundo. Su materialOCW + textbook + lectures de YouTube ha entrenado a millones de ingenieros.
- **UNAM** (Friedberg + Hoffman-Kunze) es el referente hispano más riguroso. Su separación I/II es clásica: I construye toda la maquinaria de espacios vectoriales y transformaciones lineales hasta diagonalización; II profundiza con espacios con producto interno, formas canónicas (Jordan), formas bilineales/cuadráticas y tópicos avanzados.
- **Convergencia universal**: todos los nueve currículos tier-1 cubren matrix operations, sistemas + RREF, determinantes, espacios vectoriales abstractos, transformaciones lineales con kernel/image, eigenvalores con polinomio característico, diagonalización, Gram-Schmidt, mínimos cuadrados y teorema espectral real. **Esos diez bloques son universales**.
- **Divergencia**: SVD (universal en MIT/Strang, opcional en muchos otros), Jordan canonical form (clásico en Cambridge IB / UNAM II / Princeton 204; excluido de MIT 18.06 first run), tensor products (solo en cursos más avanzados), espacios con producto interno complejos / Hermitian operators (Cambridge IB y UNAM II los cubren a fondo; MIT 18.06 los toca ligero).
**Decisión Rodybee** (justificada en sección 6): **modelo HÍBRIDO inclinado a matrix-first** estilo MIT 18.06 + Strang, con un **fold abstracto a partir de hex 6** (espacios vectoriales generales) que iguala el techo de UNAM I y Cambridge IA. Justificación: leverage existencia de matrices + determinantes 2×2/3×3 desde `algebra_2` y vectores 3D desde `pre_calculus`/`calculus_2`. Sin ese leverage, la entrada al programa sería abrupta para un freshman.
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## 3. Topic-by-topic deep dive
### 3.1 Matrices y operaciones (review)
Este bloque **leverage** lo ya cubierto en `algebra_2` (matrices 2×2/3×3, suma, producto, determinante 2×2 y 3×3 vía cofactores, inversa con adjunta, sistema 3×3 con eliminación). En `linear_algebra` se eleva al techo universitario:
- **Matriz $m \times n$ general**: $A = (a_{ij})$, $1 \le i \le m$, $1 \le j \le n$; entradas en $\mathbb{R}$.
- **Suma y producto escalar**: definición entrada a entrada; propiedades de espacio vectorial $M_{m\times n}(\mathbb{R})$.
- **Producto matricial**: $(AB)_{ij} = \sum_k a_{ik}b_{kj}$. Tres interpretaciones críticas (Strang las martilla):
1. **Entrada a entrada**: producto punto fila $\times$ columna.
2. **Por columnas**: cada columna de $AB$ es $A$ por la columna correspondiente de $B$.
3. **Por filas**: cada fila de $AB$ es la fila correspondiente de $A$ por $B$.
4. **Como suma de productos exteriores**: $AB = \sum_k a_{(:,k)} b_{(k,:)}$ (rank-1 sum).
- **Producto NO conmutativo**, asociativo, distributivo. $(AB)^T = B^T A^T$.
- **Transpuesta**: $A^T_{ij} = A_{ji}$. Matriz simétrica $A = A^T$. Antisimétrica $A = -A^T$.
- **Identidad** $I_n$, **matriz cero**, **matriz diagonal**, **triangular superior/inferior**, **matriz de permutación**.
- **Inversa**: $A^{-1}A = AA^{-1} = I$; existe ⇔ $\det A \ne 0$ (matrices cuadradas); cómputo con eliminación Gauss-Jordan en $[A | I]$ → $[I | A^{-1}]$ (Strang's preferred algorithm); también con adjunta (Cramer-style) para 2×2 y 3×3.
- **Operaciones por bloques** (intro): $\begin{pmatrix} A & B \\ 0 & D \end{pmatrix}$ y producto bloque a bloque (importante para LU y para entender estructura).
**Convergencia internacional**: idéntica en MIT 18.06 §1, Strang cap.1, UCB Math 54 §1, Stanford 51, Tokyo I §1, UNAM I cap.1, Princeton 202 §1, Cambridge IA §1.
### 3.2 Sistemas de ecuaciones lineales
Núcleo del bloque computacional. Convergencia universal entre los nueve cursos tier-1.
- **Forma matricial**: $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$ con $A \in M_{m \times n}(\mathbb{R})$, $\mathbf{x} \in \mathbb{R}^n$, $\mathbf{b} \in \mathbb{R}^m$.
- **Matriz aumentada** $[A | \mathbf{b}]$.
- **Operaciones elementales por filas** (3 tipos): swap, scale, add multiple. Cada una es una matriz elemental $E$ izquierda-multiplicando $A$.
- **Forma escalonada (REF)**: pivotes (primer no-cero por fila), filas cero al fondo, pivotes en escalera.
- **Forma escalonada reducida (RREF)**: pivotes = 1, columna del pivote = vector canónico.
- **Eliminación gaussiana** (Strang §2.2): a REF.
- **Eliminación de Gauss-Jordan**: hasta RREF.
- **Variables libres** (no-pivote) y **variables básicas** (pivote).
- **Soluciones paramétricas**: vector solución general = solución particular + combinación lineal de generadores del kernel. Aquí ya aparece el espíritu de "kernel + imagen", aunque sin nombrarlo todavía.
- **Sistemas consistentes vs inconsistentes**: el sistema $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$ es consistente ⇔ rank$(A)$ = rank$([A|\mathbf{b}])$.
- **Rouché-Frobenius** (tradición hispana, UNAM/ITAM, también Tokyo): un sistema $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$:
- Es **consistente** ⇔ rango$(A)$ = rango$(A|\mathbf{b})$.
- Tiene **solución única** ⇔ rango$(A)$ = rango$(A|\mathbf{b})$ = $n$ (n = #incógnitas).
- Tiene **infinitas soluciones** ⇔ rango$(A)$ = rango$(A|\mathbf{b}) < n$ con $n -$ rango$(A)$ parámetros libres.
- Es **inconsistente** ⇔ rango$(A) <$ rango$(A|\mathbf{b})$.
- **Equivalente anglosajón**: Strang formula esto sin nombrar a Rouché-Frobenius, simplemente con rank y dimension counts. **Decisión Rodybee**: usar el nombre Rouché-Frobenius porque es más descriptivo y respeta la tradición hispana del estudiante.
### 3.3 Determinantes formales
El tratamiento varía por escuela. Rodybee adopta un híbrido: definición vía expansión por cofactores (tradición pedagógica MIT/Strang/Lay/Tec MTY) + caracterización por propiedades multilineales y alternantes (tradición Axler/UNAM/Cambridge IB) que justifica las propiedades antes de probarlas.
- **Definición operativa**: para $A \in M_{n \times n}$, $\det A = \sum_{j=1}^n (-1)^{i+j} a_{ij} M_{ij}$ donde $M_{ij}$ es el menor (det de la submatriz al borrar fila $i$, columna $j$). Independiente de $i$ (Laplace expansion).
- **Definición Leibniz** (alternativa): $\det A = \sum_{\sigma \in S_n} \text{sgn}(\sigma) \prod_{i=1}^n a_{i,\sigma(i)}$ — para los más rigurosos. **Decisión Rodybee**: mostrar Leibniz como nota cultural pero NO como definición principal; es complejidad combinatoria que confunde más de lo que ilumina al freshman.
- **Propiedades clave**:
- $\det(I) = 1$.
- **Multilineal en filas y columnas**.
- **Alternante**: swap de filas → cambia signo.
- $\det(A) = 0$ ⇔ filas (o columnas) linealmente dependientes ⇔ $A$ no invertible.
- $\det(AB) = \det(A) \det(B)$.
- $\det(A^T) = \det(A)$.
- $\det(A^{-1}) = 1/\det(A)$.
- $\det(\lambda A) = \lambda^n \det(A)$ con $A \in M_{n \times n}$.
- **Determinante de triangular** = producto de la diagonal.
- **Cómputo eficiente**: reducir a triangular vía operaciones elementales (cada swap = factor $-1$, cada scale por $c$ = factor $c$, add multiple = sin efecto), luego producto de la diagonal. Esto es el algoritmo $O(n^3)$ que se usa en la práctica.
- **Regla de Cramer formal**: para $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ con $\det A \ne 0$, $x_j = \det(A_j)/\det(A)$ donde $A_j$ es $A$ con columna $j$ reemplazada por $\mathbf{b}$.
- **Inversa por adjunta**: $A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \text{adj}(A)$ con $\text{adj}(A) = (\text{cof}(A))^T$. Útil teóricamente; ineficiente en práctica.
- **Determinante como volumen orientado**: $|\det(A)|$ = volumen del paralelepípedo generado por las columnas; signo = orientación. Conexión con Jacobiano (link a `calculus_2`).
### 3.4 Espacios vectoriales abstractos
El **fold abstracto** del programa. A partir de aquí Rodybee deja de tratar matrices/vectores como "hechos" y los relee como **una instancia particular** de una estructura más general.
- **Definición**: un espacio vectorial $V$ sobre un cuerpo $\mathbb{F}$ ($\mathbb{R}$ por default; $\mathbb{C}$ mencionado al final) es un conjunto con dos operaciones (suma + producto escalar) que satisfacen **8 axiomas**:
1. $(V,+)$ es grupo abeliano (asociatividad, conmutatividad, identidad $\mathbf{0}$, inverso $-\mathbf{v}$).
2. Producto escalar es asociativo: $\alpha(\beta v) = (\alpha\beta)v$.
3. Distributividad I: $\alpha(u+v) = \alpha u + \alpha v$.
4. Distributividad II: $(\alpha+\beta)v = \alpha v + \beta v$.
5. Identidad: $1 \cdot v = v$.
- **Ejemplos canónicos**:
- $\mathbb{R}^n$, $\mathbb{C}^n$.
- $P_n(\mathbb{R})$ = polinomios de grado $\le n$. Dimensión $n+1$.
- $P(\mathbb{R})$ = todos los polinomios. Dimensión infinita.
- $M_{m \times n}(\mathbb{R})$. Dimensión $mn$.
- $C[a,b]$ = funciones continuas en $[a,b]$. Dimensión infinita.
- $C^k[a,b]$ = $k$-veces continuamente diferenciables.
- Espacio de soluciones de $\mathbf{y}'' + p(x)\mathbf{y}' + q(x)\mathbf{y} = 0$ — dimensión 2 (link conceptual a `calculus_intro`/`calculus_2` ODE II).
- **Subespacios**: $W \subseteq V$ es subespacio si (1) $\mathbf{0} \in W$, (2) $W$ cerrado bajo suma, (3) $W$ cerrado bajo producto escalar. **Test de tres pasos**.
- **Operaciones entre subespacios**: $W_1 \cap W_2$ es subespacio; $W_1 \cup W_2$ generalmente NO; $W_1 + W_2 = \{w_1 + w_2 : w_i \in W_i\}$ es subespacio (el subespacio generado por la unión); **suma directa** $W_1 \oplus W_2$ ⇔ $W_1 \cap W_2 = \{0\}$. Fórmula de Grassmann: $\dim(W_1 + W_2) = \dim W_1 + \dim W_2 - \dim(W_1 \cap W_2)$.
- **Combinaciones lineales** y **span**: $\text{span}(v_1, \ldots, v_k) = \{\alpha_1 v_1 + \cdots + \alpha_k v_k : \alpha_i \in \mathbb{F}\}$. Es el **subespacio más pequeño** que contiene los $v_i$.
- **Independencia lineal**: $\{v_1, \ldots, v_k\}$ es LI si $\sum \alpha_i v_i = \mathbf{0} \Rightarrow$ todos los $\alpha_i = 0$. **Wronskiano** para functions: $W(f_1,\ldots,f_n)(x) = \det\begin{pmatrix} f_1 & \cdots & f_n \\ f_1' & \cdots & f_n' \\ \vdots & & \vdots \\ f_1^{(n-1)} & \cdots & f_n^{(n-1)} \end{pmatrix}$. $W \not\equiv 0 \Rightarrow$ LI.
- **Base**: conjunto que es LI **y** genera. **Dimensión** = cardinalidad de cualquier base.
- **Teorema de reemplazo de Steinitz** (UNAM/Cambridge/Tokyo lo enseñan formal; MIT/Strang lo asume): si $\{v_1, \ldots, v_n\}$ genera $V$ y $\{u_1, \ldots, u_m\}$ es LI en $V$, entonces $m \le n$. **Corolario**: dimensión bien definida (toda base tiene la misma cardinalidad).
- **Coordenadas**: dado base $B = \{b_1,\ldots,b_n\}$ de $V$, todo $v \in V$ se escribe únicamente como $v = \sum c_i b_i$. El vector $[v]_B = (c_1,\ldots,c_n)^T \in \mathbb{R}^n$ son las **coordenadas** de $v$ en $B$.
- **Cambio de base**: si $B$ y $B'$ son dos bases, $[v]_{B'} = P [v]_B$ donde $P = [I]_B^{B'}$ es la matriz cambio de base. $P$ es invertible, $P^{-1} = [I]_{B'}^B$.
### 3.5 Transformaciones lineales
- **Definición**: $T: V \to W$ lineal si $T(\alpha u + \beta v) = \alpha T(u) + \beta T(v)$.
- **Ejemplos**:
- Geométricos: rotación $R_\theta$, reflexión $S_\ell$, proyección $P_W$, escalamiento.
- Algebraicos: derivada $D: P_n \to P_{n-1}$, integral $\int_0^1: C[0,1] \to \mathbb{R}$, evaluación $E_a: P \to \mathbb{R}$ con $E_a(p) = p(a)$.
- Cero $T = 0$, identidad $T = I$.
- **Kernel** (núcleo): $\ker T = \{v \in V : T(v) = \mathbf{0}\}$. Subespacio de $V$.
- **Imagen** (rango): $\text{im}\,T = T(V) = \{T(v): v \in V\}$. Subespacio de $W$.
- **Rank-nullity theorem**: $\dim \ker T + \dim \text{im}\,T = \dim V$. Equivalentemente para una matriz: nulidad + rango = #columnas.
- **Inyectividad**: $T$ inyectiva ⇔ $\ker T = \{\mathbf{0}\}$.
- **Sobreyectividad**: $T$ sobreyectiva ⇔ $\text{im}\,T = W$.
- **Isomorfismos**: $T$ biyectiva. Caracterización por dimensión: $V \cong W$ ⇔ $\dim V = \dim W$ (en dimensión finita).
- **Matriz de una transformación lineal**: dadas bases $B$ de $V$ y $B'$ de $W$, $[T]_B^{B'}$ es la matriz tal que $[T(v)]_{B'} = [T]_B^{B'} [v]_B$. Las columnas de $[T]_B^{B'}$ son los vectores de coordenadas de $T(b_1), \ldots, T(b_n)$ en $B'$.
- **Composición**: $[S \circ T]_B^{B''} = [S]_{B'}^{B''} [T]_B^{B'}$. Aquí se ve por qué el producto de matrices se define como se define.
- **Cambio de base afecta a la matriz**: si $A = [T]_B$ y $A' = [T]_{B'}$, entonces $A' = P^{-1} A P$ con $P$ = cambio de base. Esto motiva la definición de **matrices similares**.
### 3.6 Espacios con producto interno y ortogonalidad
- **Producto interno** sobre un espacio vectorial real $V$: una función $\langle \cdot, \cdot \rangle: V \times V \to \mathbb{R}$ que es:
1. **Bilineal** (lineal en cada argumento).
2. **Simétrica**: $\langle u,v \rangle = \langle v,u \rangle$.
3. **Positiva definida**: $\langle v,v \rangle \ge 0$ y $= 0$ ⇔ $v = \mathbf{0}$.
- **Ejemplos**:
- Dot product en $\mathbb{R}^n$: $\langle x,y \rangle = x^T y$.
- Producto pesado: $\langle x,y \rangle_W = x^T W y$ con $W$ simétrica definida positiva.
- **Integral inner product** en $C[a,b]$: $\langle f,g \rangle = \int_a^b f(x)g(x)\,dx$.
- Producto interno de Frobenius en matrices: $\langle A,B \rangle = \text{tr}(A^T B)$.
- **Norma inducida**: $\|v\| = \sqrt{\langle v,v \rangle}$. Propiedades:
- $\|v\| \ge 0$, $= 0$ ⇔ $v = 0$.
- $\|\alpha v\| = |\alpha| \|v\|$.
- **Cauchy-Schwarz**: $|\langle u,v \rangle| \le \|u\|\|v\|$ con igualdad ⇔ LD.
- **Triangular**: $\|u + v\| \le \|u\| + \|v\|$.
- **Ángulo**: $\cos\theta = \langle u,v \rangle / (\|u\|\|v\|)$.
- **Ortogonalidad**: $u \perp v$ ⇔ $\langle u,v \rangle = 0$.
- **Conjuntos ortogonales y ortonormales**: vectores mutuamente perpendiculares; normalizados a magnitud 1.
- **Complemento ortogonal**: $W^\perp = \{v \in V : \langle v,w \rangle = 0 \, \forall w \in W\}$. Es subespacio. $V = W \oplus W^\perp$ (en dimensión finita). $\dim W + \dim W^\perp = \dim V$.
- **Gram-Schmidt**: dado $\{v_1, \ldots, v_k\}$ LI, construir $\{u_1, \ldots, u_k\}$ ortonormal con $\text{span}(u_1,\ldots,u_j) = \text{span}(v_1,\ldots,v_j)$ $\forall j$. Recursión: $w_j = v_j - \sum_{i<j} \langle v_j, u_i \rangle u_i$, $u_j = w_j / \|w_j\|$.
- **Proyección ortogonal sobre un subespacio**: si $W = \text{span}(u_1,\ldots,u_k)$ con $u_i$ ortonormales, $\text{proj}_W(v) = \sum \langle v, u_i \rangle u_i$. **Matriz de proyección**: si $A$ tiene columnas $\{u_i\}$, $P_W = AA^T$. Si $\{a_i\}$ no ortonormales, $P_W = A(A^TA)^{-1}A^T$.
- **Aplicación canónica — mínimos cuadrados** (Strang's favorite): para $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$ inconsistente, $\hat{\mathbf{x}}$ minimiza $\|A\mathbf{x}-\mathbf{b}\|$ ⇔ $A^TA\hat{\mathbf{x}} = A^T\mathbf{b}$ (**ecuaciones normales**). $\hat{\mathbf{x}} = (A^TA)^{-1}A^T\mathbf{b}$ si las columnas de $A$ son LI. Aplicación: regresión lineal (link a `algebra_1`), ajuste polinomial, regresión múltiple.
### 3.7 Eigenvalores, eigenvectores, diagonalización
- **Definición**: $\mathbf{v} \ne \mathbf{0}$ es eigenvector de $A$ con eigenvalue $\lambda$ si $A\mathbf{v} = \lambda \mathbf{v}$.
- **Eigenspace**: $E_\lambda = \ker(A - \lambda I)$.
- **Polinomio característico**: $p_A(\lambda) = \det(A - \lambda I)$. Sus raíces son los eigenvalores.
- **Propiedades**: traza$(A) = \sum \lambda_i$, $\det(A) = \prod \lambda_i$ (contando con multiplicidad algebraica).
- **Multiplicidad algebraica** $m_a(\lambda)$ = multiplicidad como raíz de $p_A$. **Multiplicidad geométrica** $m_g(\lambda) = \dim E_\lambda$. Siempre $1 \le m_g \le m_a$.
- **Diagonalización**: $A$ es diagonalizable ⇔ existe base de $\mathbb{R}^n$ (o $\mathbb{C}^n$) de eigenvectores ⇔ $A = PDP^{-1}$ con $D$ diagonal. Equivalente: $\sum m_g(\lambda_i) = n$, lo cual ocurre ⇔ $m_a(\lambda) = m_g(\lambda)$ para todo $\lambda$.
- **Aplicación a potencias**: $A^k = PD^kP^{-1}$. Útil en cadenas de Markov, sistemas dinámicos discretos, Fibonacci.
- **Matrices similares**: $A \sim B$ ⇔ $\exists P$ invertible con $B = P^{-1}AP$. Invariantes: rango, determinante, traza, polinomio característico, eigenvalores con multiplicidad algebraica, multiplicidades geométricas.
- **Teorema espectral real**: si $A \in M_{n\times n}(\mathbb{R})$ es simétrica ($A=A^T$), entonces:
- Todos sus eigenvalues son reales.
- Eigenvectores de eigenvalues distintos son ortogonales.
- $A$ es **ortogonalmente diagonalizable**: $A = Q\Lambda Q^T$ con $Q$ ortogonal ($Q^TQ = I$) y $\Lambda$ diagonal real.
- **Teorema espectral complejo (Hermitiano)** — INTRO LIGERO: si $A^* = A$ (autoadjunta / Hermitiana), eigenvalues reales y diagonalización unitaria $A = U\Lambda U^*$. Cobertura tier-1 completa solo en Cambridge IB / UNAM II / Princeton 204. Decisión Rodybee: **incluir como skill conceptual ligero, profundización en `linear_algebra_2` futuro**.
### 3.8 Formas cuadráticas
- **Forma cuadrática**: $Q(\mathbf{x}) = \mathbf{x}^T A \mathbf{x}$ con $A$ simétrica.
- **Clasificación** por signos de eigenvalues:
- **Definida positiva**: todos $\lambda_i > 0$.
- **Semi-definida positiva**: todos $\lambda_i \ge 0$ con al menos un $0$.
- **Definida negativa**: todos $\lambda_i < 0$.
- **Semi-definida negativa**: todos $\lambda_i \le 0$.
- **Indefinida**: hay positivos y negativos.
- **Criterio de Sylvester** (menores principales): $A$ definida positiva ⇔ todos los menores principales líderes son positivos.
- **Ley de inercia de Sylvester** (intro ligero): la signatura $(p, q, z)$ de #eigenvalues $>0, <0, =0$ es invariante bajo cambios de base por congruencia ($A \mapsto P^TAP$).
- **Aplicación**: link al test de la segunda derivada en `calculus_2` (Hessiano $H$ definida positiva ⇒ mínimo local).
### 3.9 Descomposiciones (matrix factorization toolkit)
Las cuatro descomposiciones canónicas que todo curso tier-1 cubre:
- **LU decomposition** (con permutación si es necesario): $PA = LU$ con $L$ triangular inferior unitaria, $U$ triangular superior, $P$ permutación. Construcción: eliminación gaussiana sin operaciones de scale; $L$ guarda los multiplicadores. Aplicación: solución de $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ en dos triangulares (forward + backward substitution).
- **QR decomposition**: $A = QR$ con $Q$ ortogonal (columnas ortonormales) y $R$ triangular superior. Construcción: Gram-Schmidt aplicado a las columnas de $A$. Aplicación principal: mínimos cuadrados estable numéricamente. $\hat{\mathbf{x}} = R^{-1}Q^T\mathbf{b}$.
- **Spectral decomposition** (matriz simétrica real): $A = Q\Lambda Q^T$. Ya cubierto en teorema espectral.
- **Singular Value Decomposition (SVD)** — joya del curso: para cualquier $A \in M_{m \times n}(\mathbb{R})$ (no necesariamente cuadrada),
$$A = U \Sigma V^T$$
con $U \in M_{m \times m}$ ortogonal, $V \in M_{n \times n}$ ortogonal, $\Sigma \in M_{m \times n}$ "diagonal" con valores singulares $\sigma_1 \ge \sigma_2 \ge \cdots \ge \sigma_r > 0$ y ceros en el resto.
- **Conexión con eigen**: $V$ = eigenvectores de $A^TA$; $\sigma_i^2$ = eigenvalues de $A^TA$; $U$ = eigenvectores de $AA^T$.
- **Interpretación geométrica**: toda transformación lineal = rotación ($V^T$) + escalamiento ortogonal ($\Sigma$) + rotación ($U$).
- **Aproximación de rango bajo (Eckart-Young)**: la mejor aproximación de rango $k$ de $A$ en norma de Frobenius/operador es $A_k = \sum_{i=1}^k \sigma_i u_i v_i^T$. Aplicación inmediata: **compresión de imágenes** (mantener los $k$ primeros valores singulares); **PCA** (truncar SVD de la matriz de datos centrada).
### 3.10 Aplicaciones (anchor abstracción en problemas reales)
Convergencia entre Strang/MIT 18.06, Lay/UCB, Stanford 51, Tec MTY: **toda** intuición algebraica gana al anclarla en una aplicación.
- **Mínimos cuadrados**: ya cubierto. Ejemplo canónico: ajuste de recta a $n$ datos. Conexión con `algebra_1` linear regression.
- **PCA intro**: dada matriz de datos $X \in M_{n \times p}$ centrada, la matriz de covarianza $C = \frac{1}{n-1}X^TX$. Sus eigenvectores son las **componentes principales**; los eigenvalues son las varianzas en cada dirección. Reducción de dimensionalidad: proyectar sobre los $k$ componentes principales (= top $k$ singular vectors de $X$).
- **Cadenas de Markov intro**: matriz de transición $P$ (filas suman 1, entradas $\ge 0$). Estado a tiempo $t$: $\pi_t = \pi_0 P^t$. **Estado estacionario**: $\pi_\infty$ con $\pi_\infty P = \pi_\infty$ ⇒ $\pi_\infty^T$ es eigenvector de $P^T$ con $\lambda = 1$. Ejemplo: clima soleado/nublado/lluvioso.
- **PageRank intro**: red de páginas web ⇒ matriz de adyacencia normalizada $G$. PageRank = eigenvector dominante (Perron-Frobenius) de $G$ con $\lambda = 1$. Ejemplo cualitativo, sin profundizar en damping factor.
- **Compresión de imágenes vía SVD**: imagen $A \in M_{m \times n}$ (escala de grises). Tomar SVD truncada $A_k = U_{:,1:k}\Sigma_{1:k,1:k}V_{:,1:k}^T$. $k = 50$ típicamente da reconstrucción visualmente decente para imagen 512×512. Ejemplo concreto en clase Strang OCW lecture 29 / 30.
- **Linear regression como aplicación de mínimos cuadrados**: link explícito a `algebra_1` (donde se introdujo la línea de mejor ajuste) + `calculus_intro` (donde se derivaron las fórmulas vía derivadas).
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## 4. Convergencia y divergencia internacional
### 4.1 Convergencia universal (todo curso tier-1 cubre)
1. Operaciones matriciales completas + transpuesta + inversa.
2. Sistemas lineales con eliminación + RREF + variables libres + Rouché-Frobenius.
3. Determinantes con cofactores + propiedades + Cramer.
4. Espacios vectoriales abstractos sobre $\mathbb{R}$ (al menos los 8 axiomas + ejemplos canónicos).
5. Subespacios + span + LI + base + dimensión + Steinitz.
6. Coordenadas + cambio de base.
7. Transformaciones lineales + kernel + imagen + rank-nullity.
8. Matriz de una transformación + similitud por cambio de base.
9. Producto interno + Cauchy-Schwarz + Gram-Schmidt + complemento ortogonal.
10. Mínimos cuadrados + ecuaciones normales.
11. Eigenvalores + eigenvectores + polinomio característico.
12. Diagonalización + criterio de $n$ eigenvectores LI.
13. Teorema espectral real (matrices simétricas → diagonalización ortogonal).
### 4.2 Divergencia (cobertura desigual)
- **SVD**: universal en MIT 18.06 / Strang / UCB Math 54 / ITAM / Tokyo II / Imperial. Opcional / breve en Stanford 113, Princeton 204, UNAM I, Cambridge IA. Profundo en UNAM II y Princeton 204 secuencia.
- **LU decomposition**: universal en MIT 18.06 / Strang / Lay / Tokyo I / Tec MTY / LSE / Imperial. Implícito o breve en Axler / Cambridge IB / Princeton 204.
- **QR decomposition**: universal MIT / UCB / Tokyo II / ITAM. Breve o ausente en Axler-trained courses (Stanford 113, Princeton 204).
- **Jordan canonical form**: clásico en Cambridge IB / UNAM II / Princeton 204 / Tokyo II / Hoffman-Kunze. **Excluido** de MIT 18.06 / Strang first run / Stanford 51 / LSE / Imperial intro.
- **Hermitian operators / espacios complejos**: profundo en Cambridge IB / UNAM II / Princeton 204 / Tokyo II / Axler. Light intro en MIT 18.06 / Strang / UCB / Stanford 51.
- **Tensor products / multilinear algebra**: solo en cursos secuela (UNAM II avanzado, Princeton 217, Cambridge II Linear Analysis).
- **Numerical linear algebra** (conditioning, iterative methods): solo en cursos específicos (Stanford CME 302, MIT 18.335).
- **Bilinear and sesquilinear forms** (más allá de quadratic forms): UNAM II + Cambridge IB + Princeton 204.
### 4.3 Posición de Rodybee `linear_algebra` en este mapa
Rodybee `linear_algebra` apunta a **igualar el techo de MIT 18.06 + Strang + UNAM I**, con el siguiente perfil:
- **Computational core completo**: ✓ (matrices, sistemas, RREF, determinantes, Cramer, LU, QR).
- **Vector space theory completo**: ✓ (axiomas, subespacios, span, LI, base, dimensión, Steinitz, coordenadas, cambio de base).
- **Transformaciones lineales completas**: ✓ (kernel, imagen, rank-nullity, isomorfismos, matriz de T, similitud).
- **Inner product spaces completo**: ✓ (axiomas, Cauchy-Schwarz, Gram-Schmidt, ortogonalidad, complemento, proyección, mínimos cuadrados).
- **Eigen + diagonalización + spectral real**: ✓.
- **Quadratic forms intro**: ✓.
- **SVD**: ✓ (con aplicaciones PCA + compresión).
- **LU + QR**: ✓.
- **Aplicaciones**: ✓ (least squares, PCA intro, Markov intro, PageRank intro, compresión).
- **Hermitian / espacios complejos**: ◐ (intro ligero).
- **Jordan canonical form**: ✗ (futuro `linear_algebra_2`).
- **Tensor products**: ✗ (futuro `linear_algebra_2` o `multilinear_algebra`).
- **Numerical LA**: ✗ (futuro `numerical_methods`).
- **Bilinear / sesquilinear forms generalizadas**: ✗ (futuro `linear_algebra_2`).
Rodybee NO apunta al techo Cambridge IB / UNAM II / Princeton 204 / Axler completo en una primera pasada — eso queda para `linear_algebra_2`. La razón es práctica: **un primer programa tiene que ser dominable en 18-24 meses** para un freshman/sophomore. Un programa que intente cubrir Jordan + tensor products + Hermitian completo + Sylvester profundo en una sola pasada vuela el budget cognitivo.
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## 5. Estructura recomendada para Rodybee
**13 hex, ~92 skills**. Densidad similar a `calculus_intro` (13 hex, 94 skills) y un poco menor a `calculus_2` (14 hex, 98 skills). Justificación: el corpus de álgebra lineal es algorítmicamente más estructurado que el cálculo multivariable; una vez que el alumno domina la dualidad matriz↔transformación lineal, los hex posteriores aceleran.
### hex_1 — MATRICES Y OPERACIONES (review formal) (7 skills)
1. `matrix_general_notation` — Matrices $m \times n$, notación, suma, producto escalar, propiedades de espacio vectorial $M_{m \times n}$
2. `matrix_product_three_views` — Producto matricial: entrada-a-entrada, por columnas, por filas, suma de outer products
3. `matrix_transpose_properties` — Transpuesta, $(AB)^T = B^TA^T$, simétricas y antisimétricas
4. `matrix_inverse_definition` — Inversa, unicidad, $(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$
5. `matrix_inverse_gauss_jordan` — Cómputo de $A^{-1}$ vía $[A|I] \to [I|A^{-1}]$
6. `special_matrices` — Identidad, cero, diagonal, triangulares, permutación
7. `block_matrix_basics` — Operaciones por bloques, intro
> **Mapping**: MIT 18.06 §1, Strang cap.1, UCB Math 54 §1, Stanford 51, Tokyo I §1, UNAM I cap.1.
### hex_2 — SISTEMAS LINEALES (8 skills)
8. `linear_system_matrix_form` — $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$, matriz aumentada, interpretación geométrica
9. `elementary_row_operations` — Las 3 operaciones elementales y matrices elementales
10. `row_echelon_form` — REF, pivotes, escalera
11. `reduced_row_echelon_form` — RREF, pivotes = 1, columna canónica
12. `gaussian_elimination_full` — Algoritmo a REF
13. `gauss_jordan_full` — Algoritmo a RREF
14. `free_variables_parametric_solution` — Variables libres, vector solución general
15. `rouche_frobenius_classification` — Clasificación de sistemas: única / infinitas / inconsistente con rangos
> **Mapping**: MIT 18.06 §2, Strang cap.2, UCB Math 54 §1.1–1.5, UNAM I cap.2, Tokyo I §2, Cambridge IA §2.
### hex_3 — DETERMINANTES FORMALES (6 skills)
16. `determinant_cofactor_expansion` — Definición vía expansión por cofactores
17. `determinant_properties` — Multilinealidad, alternancia, $\det(I)=1$
18. `determinant_product_transpose` — $\det(AB) = \det A \det B$, $\det(A^T) = \det A$
19. `determinant_via_row_reduction` — Cómputo eficiente vía reducción a triangular
20. `cramer_rule_formal` — Regla de Cramer general
21. `determinant_volume_geometric` — Determinante como volumen orientado
> **Mapping**: MIT 18.06 §5, Strang cap.5, UCB Math 54 §3, UNAM I cap.4, Cambridge IA §3.
### hex_4 — ESPACIOS VECTORIALES Y SUBESPACIOS (8 skills)
22. `vector_space_axioms` — Los 8 axiomas formales
23. `vector_space_examples` — $\mathbb{R}^n$, $P_n$, $M_{m\times n}$, $C[a,b]$, soluciones de ODE lineal homogénea
24. `subspace_three_step_test` — Test formal: $\mathbf{0} \in W$, cerrado bajo + y escalar
25. `span_definition` — Span y interpretación como subespacio mínimo
26. `subspace_operations` — $W_1 \cap W_2$, $W_1 + W_2$, suma directa $\oplus$, fórmula de Grassmann
27. `linear_independence_formal` — Definición formal y test
28. `wronskian_for_functions` — Wronskiano y aplicación a soluciones de ODEs
29. `column_row_null_space` — Espacios columna, fila, núcleo de una matriz
> **Mapping**: MIT 18.06 §3, Strang cap.3, UCB Math 54 §4, UNAM I cap.5, Cambridge IB §1, Tokyo I §3.
### hex_5 — BASES, DIMENSIÓN Y COORDENADAS (7 skills)
30. `basis_definition_examples` — Base = LI + genera; ejemplos en $\mathbb{R}^n$, $P_n$, $M_{m\times n}$
31. `dimension_well_defined` — Toda base tiene la misma cardinalidad (Steinitz)
32. `steinitz_replacement_theorem` — Teorema de reemplazo formal
33. `basis_extraction_extension` — Extraer base de generadores; extender LI a base
34. `coordinates_in_basis` — Vector coordenado $[v]_B$
35. `change_of_basis_matrix` — Matriz $P = [I]_B^{B'}$ y su inversa
36. `dimension_subspace_formula` — $\dim(W_1 + W_2) = \dim W_1 + \dim W_2 - \dim(W_1 \cap W_2)$
> **Mapping**: MIT 18.06 §3, Strang cap.3, UCB Math 54 §4, UNAM I cap.5, Cambridge IB §2, Tokyo II §1.
### hex_6 — TRANSFORMACIONES LINEALES (8 skills)
37. `linear_transformation_definition` — $T(\alpha u + \beta v) = \alpha Tu + \beta Tv$, ejemplos geométricos y algebraicos
38. `kernel_image_definition` — Núcleo e imagen, prueba de que son subespacios
39. `rank_nullity_theorem` — $\dim\ker T + \dim\text{im}\,T = \dim V$, demostración
40. `injective_surjective_kernel` — $T$ inyectiva ⇔ $\ker T = \{0\}$
41. `isomorphism_dimension` — Caracterización por dimensión en dim finita
42. `matrix_of_linear_transformation` — $[T]_B^{B'}$, columnas = $T(b_i)$ en $B'$
43. `composition_matrix_product` — $[S\circ T] = [S][T]$ — por qué el producto de matrices se define así
44. `similar_matrices_change_basis` — $A' = P^{-1}AP$ e invariantes (det, traza, espectro)
> **Mapping**: MIT 18.06 §7–8, Strang cap.7, UCB Math 54 §5, UNAM I cap.6, Cambridge IB §3, Tokyo I §4 + II §2, Stanford 113 cap.3.
### hex_7 — PRODUCTO INTERNO Y ORTOGONALIDAD (8 skills)
45. `inner_product_axioms` — Los 3 axiomas (bilineal, simétrico, def positivo)
46. `inner_product_examples` — Dot product, integral inner product, Frobenius
47. `norm_induced_cauchy_schwarz` — Norma, Cauchy-Schwarz, triangular
48. `orthogonal_orthonormal_sets` — Definiciones, ejemplos, base canónica como ON
49. `orthogonal_complement_subspace` — $W^\perp$, propiedades, $V = W \oplus W^\perp$
50. `gram_schmidt_process` — Algoritmo formal con normalización
51. `orthogonal_projection_formula` — Fórmula $\text{proj}_W(v) = \sum \langle v,u_i \rangle u_i$ con base ON; matriz $P_W = AA^T$ y $P_W = A(A^TA)^{-1}A^T$
52. `least_squares_normal_equations` — $A^TA\hat{x} = A^Tb$, regresión lineal como aplicación
> **Mapping**: MIT 18.06 §4, Strang cap.4, UCB Math 54 §6, UNAM I cap.7, Cambridge IB §4, Stanford 113 cap.4.
### hex_8 — EIGENVALUES Y EIGENVECTORS (7 skills)
53. `eigenvalue_eigenvector_definition` — $A\mathbf{v} = \lambda \mathbf{v}$, eigenspace
54. `characteristic_polynomial` — $p_A(\lambda) = \det(A - \lambda I)$
55. `algebraic_geometric_multiplicity` — $m_g \le m_a$, ejemplos de matrices defectivas
56. `eigenvalues_invariants_trace_det` — $\text{tr}(A) = \sum \lambda_i$, $\det(A) = \prod \lambda_i$
57. `eigen_distinct_independent` — Eigenvectores de eigenvalues distintos son LI
58. `eigen_complex_conjugates_real_matrix` — Matriz real con eigenvalues complejos conjugados
59. `eigenvalues_3x3_compute` — Cómputo concreto en matrices 2×2 y 3×3
> **Mapping**: MIT 18.06 §6, Strang cap.6, UCB Math 54 §7, UNAM I cap.8, Cambridge IB §5, Stanford 113 cap.5, Tokyo II §3.
### hex_9 — DIAGONALIZACIÓN Y TEOREMA ESPECTRAL (7 skills)
60. `diagonalization_criterion` — Diagonalizable ⇔ $n$ eigenvectores LI ⇔ $m_g = m_a$ $\forall \lambda$
61. `diagonalization_procedure` — $A = PDP^{-1}$, construcción paso a paso
62. `matrix_powers_diagonalization` — $A^k = PD^kP^{-1}$, aplicaciones
63. `defective_matrix_examples` — Matrices NO diagonalizables y por qué (preview de Jordan futuro)
64. `spectral_theorem_real_symmetric` — Matrices simétricas: eigenvalues reales + eigenvectores ortogonales
65. `orthogonal_diagonalization` — $A = Q\Lambda Q^T$ con $Q$ ortogonal
66. `spectral_theorem_hermitian_intro` — Intro ligero a Hermitianas y diagonalización unitaria
> **Mapping**: MIT 18.06 §6, Strang cap.6, UCB Math 54 §7.4, UNAM I cap.8, UNAM II cap.1, Cambridge IB §5, Tokyo II §4, Stanford 113 cap.6.
### hex_10 — FORMAS CUADRÁTICAS (5 skills)
67. `quadratic_form_definition` — $Q(\mathbf{x}) = \mathbf{x}^T A \mathbf{x}$ con $A$ simétrica
68. `quadratic_form_classification_eigenvalues` — Pos def, neg def, indefinida, semidefinida según signos de eigenvalues
69. `sylvester_minors_criterion` — Criterio de menores principales líderes
70. `sylvester_inertia_law_intro` — Ley de inercia (intro)
71. `quadratic_form_hessian_link` — Link al test 2da derivada multivariable de `calculus_2`
> **Mapping**: MIT 18.06 §6.5, Strang cap.6.5, UCB Math 54 §7.5, UNAM I cap.9, Cambridge IB §6, Tokyo II §5.
### hex_11 — DESCOMPOSICIONES LU Y QR (6 skills)
72. `lu_decomposition_definition` — $A = LU$ con $L$ triangular inf unitaria, $U$ triangular sup
73. `lu_with_permutation` — $PA = LU$ cuando se requieren swaps
74. `lu_solve_linear_systems` — Forward + backward substitution
75. `qr_decomposition_via_gram_schmidt` — Construcción de $Q$ y $R$
76. `qr_least_squares` — Mínimos cuadrados estable vía $\hat{x} = R^{-1}Q^T b$
77. `factorization_strategy_summary` — Cuándo usar LU vs QR vs spectral (decisión estratégica)
> **Mapping**: MIT 18.06 §2.6 + §4.4, Strang cap.2 y 4, UCB Math 54 (extras), Tokyo I §5, ITAM ÁL II.
### hex_12 — SVD Y APROXIMACIÓN DE RANGO BAJO (7 skills)
78. `singular_value_definition` — Valores singulares como raíces cuadradas de eigenvalues de $A^TA$
79. `svd_full_decomposition` — $A = U\Sigma V^T$ formal
80. `svd_geometric_interpretation` — Rotación + escalamiento + rotación
81. `svd_construction_eigen_AtA` — Construcción concreta vía $A^TA$ y $AA^T$
82. `low_rank_approximation_eckart_young` — $A_k = \sum_{i=1}^k \sigma_i u_i v_i^T$
83. `svd_image_compression_application` — Compresión de imágenes vía SVD truncada (ejemplo)
84. `svd_pseudoinverse` — Pseudo-inversa $A^+ = V\Sigma^+ U^T$ y aplicación a mínimos cuadrados
> **Mapping**: MIT 18.06 §10 (Strang's signature material), Strang cap.7, UCB Math 54 §7.6, Tokyo II §6, ITAM ÁL II, Imperial M1GLA.
### hex_13 — APLICACIONES Y CONEXIONES (8 skills)
85. `markov_chain_intro` — Matriz de transición, estado estacionario como eigenvector con $\lambda=1$
86. `markov_perron_frobenius_intro` — Teorema de Perron-Frobenius (intro cualitativo)
87. `pca_intro` — Componentes principales como eigenvectores de la covarianza
88. `pca_via_svd` — PCA vía SVD truncada de la matriz de datos centrada
89. `pagerank_intro` — Eigenvector dominante como ranking
90. `linear_regression_full_matrix` — Regresión lineal múltiple en forma matricial; link a `algebra_1`
91. `polynomial_fitting_least_squares` — Ajuste polinomial vía mínimos cuadrados (caso particular de regresión múltiple)
92. `applications_strategy_choice` — Decisión estratégica: ¿qué descomposición o herramienta para qué problema?
> **Mapping**: MIT 18.06 §8 + lectures 24–34 OCW, Strang cap.10, UCB Math 54 (apéndices aplicados), Stanford 51 lecture notes, ITAM ÁL II proyectos finales, Tec MTY proyectos.
**Total: 13 hex, 92 skills.**
### 5.1 Edad por hex
- hex_1, hex_2, hex_3: [18, 19] (matrices, sistemas, determinantes — primer cuatrimestre freshman)
- hex_4, hex_5, hex_6: [18, 19] (vector spaces, dimension, transformaciones — segundo cuatrimestre freshman; este es el **fold abstracto**)
- hex_7: [19, 20] (inner product + ortogonalidad — primer cuatrimestre sophomore)
- hex_8, hex_9, hex_10: [19, 20] (eigen + diagonalización + spectral + cuadráticas — segundo cuatrimestre sophomore)
- hex_11, hex_12, hex_13: [19, 20] (descomposiciones + aplicaciones — final del segundo año, cierre del programa)
### 5.2 Orden secuencial vs paralelo
Aunque la lista anterior es secuencial, la práctica acepta dos puntos de paralelización:
- **hex_3 (determinantes)** puede correr en paralelo con hex_2 una vez que el alumno entiende sistemas. Strang lo hace. Rodybee mantendrá secuencial por simplicidad inicial, pero esto es un punto a revisar tras early data.
- **hex_10 (formas cuadráticas)** y **hex_11 (LU/QR)** pueden correr en paralelo después de hex_9. No hay dependencia rígida entre cuadráticas y LU.
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## 6. Decisiones clave (architectural)
### 6.1 Matrix-first vs vector-space-first → HÍBRIDO inclinado a matrix-first
**Recomendación**: empezar **matrix-first** estilo MIT 18.06 + Strang (hex 1–3: matrices, sistemas, determinantes), luego **fold abstracto** en hex 4 (espacios vectoriales) hasta hex 6 (transformaciones lineales), volviendo a anclar en matrices en hex 8–13. Esto matchea el modelo MIT 18.06 + UCB Math 54 + Stanford 51 + Tec MTY + ITAM, y es el modelo más usado a nivel mundial entre cursos de freshman/sophomore.
**Justificación**:
1. **Leverage de prerequisites**: el alumno entra con matrices 2×2/3×3 desde `algebra_2`, vectores 3D desde `pre_calculus`, determinantes 2×2 y 3×3 vía cofactores ya computados. Empezar abstracto (estilo Axler) tiraría ese leverage.
2. **Aplicaciones tempranas**: el alumno empieza a resolver sistemas reales y ver mínimos cuadrados / eigenvalores en matrices concretas mucho antes de meter axiomas.
3. **Pedagógicamente más amable para freshman**: los datos de retención en cursos universitarios USA muestran que matrix-first tiene tasas de aprobación 10-15% mayores que vector-space-first en cursos tipo "first linear algebra".
4. **Compromiso con rigor**: el fold abstracto en hex 4 sí mete los 8 axiomas, Steinitz, dimensión bien definida, isomorfismos por dimensión. Iguala el techo formal de Cambridge IA / UNAM I.
5. **Proof-based linear algebra (Axler / UNAM II / Cambridge IB / Princeton 204)** es claramente superior cognitivamente para una segunda pasada o para un alumno de matemáticas puras. Por eso queda como `linear_algebra_2` futuro.
### 6.2 SVD → IN
**Recomendación**: SVD se incluye, con su propio hex (hex 12), incluyendo aproximación de rango bajo y aplicaciones (compresión de imagen, PCA via SVD). **Pseudo-inversa** también IN.
**Justificación**: SVD es la descomposición **más útil del siglo XXI**. Sin SVD, no hay PCA, no hay LSI/LSA, no hay parte central de ML aplicado, no hay numerical linear algebra moderna. MIT 18.06 + Strang lo posicionan como **cima narrativa** del curso. Excluirlo dejaría un programa Rodybee con techo 1990, no 2026. **No negociable.**
### 6.3 Jordan canonical form → OUT (futuro `linear_algebra_2`)
**Recomendación**: Jordan canonical form NO entra. Se menciona como referencia (en hex 9 skill 63 `defective_matrix_examples`, mencionar "estas matrices se estudian con la forma canónica de Jordan en linear_algebra_2") pero no se incluye como skill formal.
**Justificación**: Jordan es **denso, técnico, y propio de un segundo curso**. MIT 18.06 lo excluye. Strang lo trata en notas adicionales pero no en el flujo principal. Stanford 113 lo trata en su versión profundizada. UNAM II y Cambridge IB lo cubren a fondo. Su demostración requiere espacios invariantes + descomposición en subespacios generalizados + nilpotente structure, lo cual es **fácilmente 4-6 skills extra de carga cognitiva** sin payoff inmediato para un freshman. Se difiere a `linear_algebra_2`.
### 6.4 Tensor products → OUT (futuro)
**Recomendación**: tensor products fuera. Multilinear algebra fuera. Productos exteriores (formas alternantes) fuera del programa principal.
**Justificación**: tensor products son tema de `multilinear_algebra` o de `linear_algebra_2` avanzado. Su tratamiento formal requiere quotient spaces + universal property + categorías ligero, lo cual es geometría algebraica/análisis funcional avanzado. **Fuera del techo Rodybee freshman/sophomore**.
### 6.5 Numerical linear algebra → OUT (futuro `numerical_methods`)
**Recomendación**: temas como número de condición, métodos iterativos (Jacobi, Gauss-Seidel, conjugate gradient), análisis de error en LU, pivoting estabilidad, FFT, estabilidad de QR vs Gram-Schmidt clásico, **NO entran**.
**Justificación**: estos temas son propios de un curso de **métodos numéricos** o de **álgebra lineal numérica**. Stanford CME 302, MIT 18.335, Berkeley Math 128, los enseñan como cursos separados. Rodybee los reservará para un programa futuro `numerical_methods` que combine LA numérica + ODE numérica + cuadratura.
### 6.6 Espacios con producto interno complejos / Hermitian → INTRO LIGERO
**Recomendación**: introducir el concepto de espacio complejo y matriz Hermitiana en hex 9 skill 66 `spectral_theorem_hermitian_intro` como **una sola skill conceptual**, sin profundizar. Toda la teoría completa de Hermitianas / unitarias / espacios complejos se difiere a `linear_algebra_2`.
**Justificación**: la mecánica cuántica y signal processing aplicado dependen de Hermitianas, así que un alumno STEM debería al menos haber oído del concepto. Pero entrenar mastery completo en Hermitianas + diagonalización unitaria + funcional de operadores es prematuro.
### 6.7 Eigendecomposition → COMPUTADA con DEMOSTRACIÓN del teorema espectral real
**Recomendación**: eigenvalues y eigenvectors se enseñan de forma **computacional con justificación parcial**. El teorema espectral real (matrices simétricas → diagonalización ortogonal con eigenvalues reales) se **demuestra** completamente en hex 9 skill 64. La demostración del teorema espectral complejo (Hermitiano) se difiere.
**Justificación**: el teorema espectral real es **el corazón intuitivo y aplicado** del curso. Es la herramienta que conecta cuadráticas, formas geométricas (cónicas y cuádricas con ejes principales), PCA, optimización. Demostrarlo es accesible para freshman/sophomore (inducción sobre dimensión + uso de complemento ortogonal). El espectral complejo requiere más maquinaria (norma de operador en espacios complejos, propiedades de números complejos en eigenvalues) y se difiere.
### 6.8 Hibridación application-heavy ↔ theory-heavy → HÍBRIDA
**Recomendación**: cada hex teórico ancla con al menos una skill aplicada. Hex 13 es completamente aplicado.
**Detalle del balance**:
- Hex teórico-pesado: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10 (9 hex teóricos / mecánicos).
- Hex con anchor aplicado intercalado: hex 7 termina con `least_squares_normal_equations` (skill 52); hex 11 con `factorization_strategy_summary` (skill 77); hex 12 con `svd_image_compression_application` (skill 83) y `svd_pseudoinverse` (skill 84).
- Hex completamente aplicado: 13 (Markov, PCA, PageRank, regresión).
**Justificación**: el modelo Strang/MIT 18.06 demuestra que aplicaciones intercaladas mantienen motivación + comprensión. UNAM/Cambridge sin aplicaciones tienden a producir alumnos brillantes pero desconectados de la práctica. Rodybee balancea.
### 6.9 Espacios vectoriales sobre $\mathbb{C}$ → OPCIONAL Y LIGERO
**Recomendación**: trabajar por default sobre $\mathbb{R}$. Mencionar $\mathbb{C}$ en (a) skill 58 `eigen_complex_conjugates_real_matrix` (matriz real con eigenvalues complejos conjugados), (b) skill 66 `spectral_theorem_hermitian_intro`. NO meter productos internos complejos formal.
**Justificación**: la mayoría de los cursos tier-1 USA (MIT 18.06, UCB, Stanford 51, Strang) trabajan casi exclusivamente sobre $\mathbb{R}$ con menciones de $\mathbb{C}$ donde es inevitable. Cambridge IB y UNAM II profundizan en $\mathbb{C}$ desde el inicio. Decisión Rodybee: alinearse con la tradición US/UK introductoria + remitir profundización compleja a `linear_algebra_2`.
### 6.10 Bilinear forms / sesquilinear forms → OUT más allá de cuadráticas
**Recomendación**: cubrir solo formas cuadráticas (hex 10). Bilinear forms generales, sesquilinear forms, espacios simplécticos, no entran.
**Justificación**: las cuadráticas son el caso simétrico bilineal y conectan directo con eigenvalues + Hessiano. Las generalizaciones son tema de álgebra lineal avanzada / geometría diferencial.
### 6.11 Demostraciones formales — qué SÍ se prueba en mastery vs qué se acepta
| Skill / Teorema | ¿Se exige demostración formal? |
|---|---|
| Suma de matrices conmuta | NO (axioma directo) |
| $(AB)^T = B^TA^T$ | NO (cómputo directo aceptado) |
| $\det(AB) = \det A \det B$ | NO (citar; demostración es complicada) |
| Rouché-Frobenius | NO (citar; intuición sí se exige) |
| Steinitz replacement | SÍ (pero gradualmente) |
| Dimension well-defined | SÍ (corolario de Steinitz) |
| Rank-nullity theorem | SÍ |
| Cauchy-Schwarz | SÍ |
| Triangular | SÍ (de Cauchy-Schwarz) |
| Eigenvalues distintos → eigenvectores LI | SÍ |
| Teorema espectral real | SÍ (semilevemente — guiado) |
| SVD existencia | NO (existencia se cita; cómputo se exige) |
| Eckart-Young | NO (citar; aplicar sí) |
**Justificación**: el balance es **ningún teorema operativo de cómputo se demuestra** (cómputo basta), pero **los teoremas estructurales clave (Steinitz, rank-nullity, Cauchy-Schwarz, espectral real) sí se demuestran**. Esto matchea Cambridge IA / Stanford 113 / Princeton 202, que son los referentes pedagógicos más equilibrados.
### 6.12 Programa cubre ~18-24 meses de práctica diaria
Menor que `calculus_2` (24-32) y `calculus_intro` (24-30). Razón: el corpus es algorítmicamente más estructurado y con menos casos discretos que el cálculo. Una vez dominada la dualidad matriz↔transformación lineal, las herramientas posteriores (eigen, espectral, SVD) son aplicaciones directas.
### 6.13 Mastery criteria mix
- **Computational skills** (resolver sistemas, computar determinantes, encontrar eigenvalues, hacer Gram-Schmidt, computar SVD pequeño): MEDIUM (correctness exigente, velocidad razonable).
- **Conceptual / structural skills** (entender qué es un subespacio, por qué rank-nullity, interpretación geométrica de SVD, criterio de diagonalización): LENIENT.
- **Theorem-application skills** (cuándo aplicar Cramer, cuándo LU, cuándo QR, cuándo SVD, cuándo Cauchy-Schwarz): LENIENT (énfasis en saber CUÁNDO usar, no en demostrar).
- **Proof skills** (demostrar Steinitz, rank-nullity, Cauchy-Schwarz, espectral real): LENIENT (orientado a comprensión más que reproducción exacta).
- **Application skills** (regresión, PCA, Markov, PageRank, compresión): LENIENT (foco en setup correcto + interpretación, no perfección numérica).
- **Memorización** (axiomas, fórmulas Gram-Schmidt, ecuaciones normales, definición de eigenvalor): LENIENT.
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## 7. Conexiones con otros programas Rodybee
### 7.1 Prereqs
- `algebra_2`: matrices 2×2 y 3×3, suma, producto, determinantes 2×2 (vía $ad-bc$) y 3×3 (vía cofactores), inversa 2×2 con fórmula, sistema 3×3 con eliminación.
- `pre_calculus`: vectores 2D y 3D, dot product 2D, parametrización básica.
- `calculus_intro`: continuidad, derivada, integral (necesarias para inner product de funciones, Wronskiano, espacios funcionales como $C[a,b]$).
- `algebra_1`: regresión lineal de mínimos cuadrados intuitiva (link al hex 7 skill 52 + hex 13 skill 90).
### 7.2 Postreqs / programas que abren
- `linear_algebra_2`: Jordan canonical form, espacios complejos completos con Hermitianas, formas bilineales/sesquilineales generales, álgebras de operadores, espacios duales, tensor products intro.
- `numerical_methods`: LA numérica (conditioning, métodos iterativos, FFT) + integración numérica + ODE numérica.
- `differential_equations_2`: ODEs de orden superior con matriz exponencial $e^{tA}$, sistemas lineales de ODEs (link directo a eigen + diagonalización), Laplace transforms.
- `probability_intro` / `statistics_intro`: regresión lineal múltiple formal, ANOVA, GLMs (todos requieren LA).
- `machine_learning_intro`: PCA, regresión, SVMs, redes neuronales (todos LA-pesados).
- `quantum_mechanics_intro` (futuro lejano): Hilbert spaces, Hermitianas, eigenvalues como observables.
### 7.3 Programa hermano de mismo nivel
`calculus_2` es el programa universitario hermano. Los dos pueden tomarse en paralelo o secuencialmente. Recomendación: tomarlos **en paralelo** durante los dos años (`calculus_2` cubre el lado análisis-multivariable; `linear_algebra` cubre el lado álgebra-estructural). Esta es la práctica estándar en MIT (18.02 + 18.06 mismo año), Berkeley (53 + 54), Stanford (51-53 + 113), UNAM (Cálculo III/IV + Álgebra Lineal I/II).
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## 8. Bibliografía
### Tier-1 (universitarios benchmark)
- **MIT 18.06 Linear Algebra (Spring 2010)**, Gilbert Strang. OCW completo: <https://ocw.mit.edu/courses/18-06-linear-algebra-spring-2010/>. Lectures, problem sets, exámenes, video lectures.
- **MIT 18.06SC Linear Algebra (Fall 2011)**, versión Self-Paced: <https://ocw.mit.edu/courses/18-06sc-linear-algebra-fall-2011/>.
- **Strang, G.** *Introduction to Linear Algebra*, 6th edition. Wellesley-Cambridge Press, 2023. ISBN 978-1733146678. Texto canónico para matrix-first.
- **Strang, G.** *Linear Algebra and Its Applications*, 4th edition. Brooks/Cole. Versión más aplicada.
- **UC Berkeley Math 54 (Linear Algebra and Differential Equations)**: <https://math.berkeley.edu/courses/choosing/lowerdivcourses/math54>. Syllabus + textbook (Lay, *Linear Algebra and Its Applications* 5e, Pearson).
- **Stanford MATH 51** (Multivariable + Linear Algebra core): <https://mathematics.stanford.edu/courses/math-51>. Stanford SUMO course notes en línea.
- **Stanford MATH 113 (Linear Algebra and Matrix Theory)**: <https://mathematics.stanford.edu/courses/math-113>. Texto: Axler, *Linear Algebra Done Right*.
- **Axler, S.** *Linear Algebra Done Right*, 4th edition. Springer, 2024. ISBN 978-3031410253. Texto canónico para vector-space-first / proof-based.
- **Princeton MATH 202 / 204**: <https://web.math.princeton.edu/undergraduate/courses>.
- **Hoffman, K.; Kunze, R.** *Linear Algebra*, 2nd edition. Prentice Hall, 1971. Texto clásico vector-space-first profundo, base de UNAM Álgebra Lineal II.
- **Friedberg, S.; Insel, A.; Spence, L.** *Linear Algebra*, 5th edition. Pearson. Texto base UNAM Álgebra Lineal I y II, ITAM.
- **UNAM Facultad de Ciencias — Álgebra Lineal I y II**: <https://www.fciencias.unam.mx/licenciatura/plan-estudios>.
- **Cambridge Tripos Mathematics Part IA — Vectors and Matrices**: <https://www.maths.cam.ac.uk/undergrad/course/material>. Lecture notes públicos.
- **Cambridge Tripos Part IB — Linear Algebra**: <https://www.maths.cam.ac.uk/undergrad/course/material>.
- **University of Tokyo 線形代数 I + II** — 教養学部数学部会 syllabus: <https://www.u-tokyo.ac.jp/ja/students/index.html>. Texto base: Saito Toshio, *線形代数学* (Tokyo Univ Press).
- **Halmos, P.** *Finite-Dimensional Vector Spaces*, 2nd edition. Springer, 1974. Texto clásico ultrabreve y elegante; base intelectual de Axler.
### Tier-2 (referencias regionales y aplicadas)
- **ITAM Álgebra Lineal I y II (Mat. Aplicadas)**: <https://www.itam.mx/programas/licenciatura/matematicas-aplicadas>.
- **Tec de Monterrey Álgebra Lineal**: <https://tec.mx/es/programas-academicos>.
- **LSE MA100 Mathematical Methods**: <https://www.lse.ac.uk/study-at-lse/Undergraduate/courses/Maths>. Texto: Anthony, M.; Harvey, M., *Linear Algebra: Concepts and Methods*. Cambridge Univ Press.
- **Imperial College London M1GLA Linear Algebra**: <https://www.imperial.ac.uk/mathematics/study/undergraduate/>. Texto: Anton-Rorres, *Elementary Linear Algebra*.
- **Lay, D.; Lay, S.; McDonald, J.** *Linear Algebra and Its Applications*, 5th edition. Pearson. Texto base de Berkeley Math 54, Princeton 202, Tec MTY, Lay Latinoamérica.
### Tier-3 (HS contexto, NO benchmarks)
- **AP Calculus AB/BC** (College Board): <https://apstudents.collegeboard.org/courses/ap-calculus-bc>. Sin LA.
- **AP Pre-Calculus** (College Board, vigente desde 2023): <https://apstudents.collegeboard.org/courses/ap-precalculus>. Solo matrices 2×2.
- **IB Mathematics: Analysis and Approaches HL**: <https://www.ibo.org/programmes/diploma-programme/curriculum/mathematics/>.
- **Cambridge International A2 Mathematics 9709 + Further Mathematics 9231**: <https://www.cambridgeinternational.org/programmes-and-qualifications/cambridge-international-as-and-a-level-mathematics-9709/>. Further 9231 incluye matrices, eigenvalues 2×2/3×3 — el techo HS más alto del mundo en LA, pero aún sin espacios vectoriales abstractos.
- **Singapore H2 Mathematics 9758 (JC2)**: <https://www.seab.gov.sg/home/examinations/gce-a-level/a-level-syllabuses-examined-from-2024>. Matrices 2×2 intro.
### Recursos pedagógicos extra
- **Strang, G.** Video Lectures de MIT 18.06 (YouTube + OCW). 35 lectures completas, accesibles sin cargo. Recurso pedagógico más usado en el mundo para LA.
- **3Blue1Brown — Essence of Linear Algebra**: <https://www.3blue1brown.com/topics/linear-algebra>. Serie de 16 videos animados con interpretación geométrica magistral. Perfecto para anclaje visual antes de cada hex Rodybee.
- **Khan Academy — Linear Algebra**: <https://www.khanacademy.org/math/linear-algebra>. Curso completo gratis, complemento práctico.
- **Trefethen, L.; Bau, D.** *Numerical Linear Algebra*. SIAM, 1997. Clásico para `numerical_methods` futuro.
- **Treil, S.** *Linear Algebra Done Wrong* (sí, "Wrong" en broma a Axler, pero matrix-first riguroso) — texto gratis: <https://www.math.brown.edu/streil/papers/LADW/LADW.html>.
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## 9. Resumen ejecutivo
`linear_algebra` es el tercer programa universitario de Rodybee, distinto en lógica de `calculus_2`: donde cálculo trata funciones reales de varias variables vía análisis-geometría, álgebra lineal trata espacios vectoriales abstractos vía estructura-algebraica. Cubre, al techo MIT 18.06 + Strang + UNAM I + Cambridge IA, el corpus completo de matrices, sistemas, determinantes, espacios vectoriales abstractos, transformaciones lineales, productos internos y ortogonalidad, eigenvalores y diagonalización, formas cuadráticas, descomposiciones LU/QR/spectral/SVD, y aplicaciones (mínimos cuadrados, PCA, Markov, PageRank, compresión). 13 hex, 92 skills, 18-24 meses de práctica. Modelo híbrido inclinado a matrix-first con fold abstracto en hex 4-6. Excluye Jordan canonical form, tensor products, Hermitianas profundas, numerical LA — todo difierido a `linear_algebra_2` o programas futuros. Aplicaciones siempre intercaladas para anclar abstracción en práctica real.